Endomorphismes et géométrie

[capitaine nuggets]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour déterminer, géométriquement, des endomorphismes de ou suivants :

1°)

J'ai pu remarquer qu'il s'agissait d'une matrice de rotation de centre et d'angle , mais cela ne constitue pas une réponse assez justifiée.
J'ai donc plutôt prouver que en montrant que , puis que . Connaissant la forme générale d'une matrice de rotation, j'en ai déduis l'angle.

2°)

Par la même méthode que l'année précédente, j'en ai conclu que et que : je ne vois pas donc quoi faire...

Merci d'avance pour votre aide :++:

[bentaarito]

Connais tu les projecteurs? (remarque que Im(B) est une droite)

[Doraki]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour déterminer, géométriquement, [...] je ne vois pas donc quoi faire...

Merci d'avance pour votre aide :++:

Fais un dessin.
Prend genre 4 points au hasard dans R² et dessine où ils sont envoyés.

[capitaine nuggets]

Fais un dessin.
Prend genre 4 points au hasard dans R² et dessine où ils sont envoyés.

Connais tu les projecteurs? (remarque que Im(B) est une droite)

Oui, je les connais.
Im(B) est la droite d'équation .

Du coup, j'ai calculé donc j'en ai conclut que B est une projection sur Im(B) mais parallèlement à quel espace ?
Je pensais au début à Ker(B), mais je ne sais pas si j'ai le droit de l'affirmer comme ça : après tout, rien ne dit qu'il s'agit d'un projection orthogonale...

[bentaarito]

C'est la projection sur parallèlement à

[capitaine nuggets]

C'est la projection sur parallèlement à

Oui, c'est ce que j'ai conjecturé plus haut.
Mais dois-je le prouver que c'est une projection sur Im(B) parallèlement à Ker(B) ?
De manière générale, pour un projecteur p. Est-il toujours un projection sur son image parallèlement au noyau ?

[bentaarito]

Un projecteur p sur F parallèlement à G est un endomorphisme, idempotent (p;)p=p), son image est Im(p)=F, son noyau est Ker(p)=G.
Donc oui,un projecteur est toujours une projection sur son image parallèlement à son noyau.
(Remarque ici que c'est un projecteur othogonal aussi)

[capitaine nuggets]

Un projecteur p sur F parallèlement à G est un endomorphisme, idempotent (p;)p=p), son image est Im(p)=F, son noyau est Ker(p)=G.
Donc oui,un projecteur est toujours une projection sur son image parallèlement à son noyau.
(Remarque ici que c'est un projecteur othogonal aussi)

Ok, parce que Ker(p) est l'orthogonal de Im(p).

Merci :++:

Je continue la série alors :+++:

3°) .
J'ai montré que et donc est une symétrie orthogonale. Connaissant la forme générale d'une matrice d'une symétrie orthogonale, j'en ai déduis que est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation .

4°) .
donc n'est pas une isométrie.
Géométriquement, devient le point . Mais je ne vois pas ... peut-être une homothétie. Si c'est le cas, que faut-il préciser ?

5°) .
Là c'est le blocage total, je ne vois pas comment démarrer...

[zygomatique]

salut

en notant (i, j) la base dans laquelle est écrite la matrice B

il est trivial de voir que B(i + j) = i + j et B(i - j) = 0

....

de la même façon C et D sont élémentaires ...



pour E dans la base (i, j, k) que vaut E(i - k) ?

[bentaarito]

Ok, parce que Ker(p) est l'orthogonal de Im(p).

Merci :++:

Je continue la série alors :+++:

3°) .
J'ai montré que et donc est une symétrie orthogonale. Connaissant la forme générale d'une matrice d'une symétrie orthogonale, j'en ai déduis que est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation .

4°) .
donc n'est pas une isométrie.
Géométriquement, devient le point . Mais je ne vois pas ... peut-être une homothétie. Si c'est le cas, que faut-il préciser ?

5°) .
Là c'est le blocage total, je ne vois pas comment démarrer...

est bien une homotétie de rapport . Il n y a rien à rajouter

[zygomatique]

que vaut E(i - k) ?

[bentaarito]

que vaut E(i - k) ?

E(i-k)=-(i-k)

Edit: j'ai pas vu le 1/3 devant la matrice :lol3:

[capitaine nuggets]

est bien une homotétie de rapport . Il n y a rien à rajouter

Ok, merci :we:
Et si l'on avait eu deux coefficient différents ?
Par exemple, si on avait eu tel que .
Aurait-ce été la composition de deux homothétie ? Une de rapport et l'autre de rapport ?
Devrait-t-on préciser par rapport à quoi s'applique ces deux homothéties ?

5°)

que vaut E(i - k) ?

E(i-k)=-3(i-k)

Moi je troue E(i-k)= -(i-k)
Ok, mais en quoi cela peut m'être utile pour trouver ce que représente E ?

[bentaarito]

La composition de deux homothéties est une homothétie de rappot le produit des rapports, donc rien à voir avec la forme de la matrice que tu as donnée

[Doraki]

5°) .
Là c'est le blocage total, je ne vois pas comment démarrer...

Tu fais comme pour toutes les autres :
- tu regardes tE * E
- tu regardes det(E)
- TU FAIS UN DESSIN comprenant le vecteur (i-k), son image, et puis aussi le plan orthogonal à i-k et tu regardes ce qui se passe dans ce plan.

[zygomatique]

en posant u = i + j, v = j + k et w = i - k

il est aisé de voir ce qu'est E ....