Endomorphisme et vecteurs propres

[les TPEistes]

Bonsoir à tous ! Je me perds un peu dans mon exercice et j'ai l'impression de tourner en rond, voici l'énoncé et ma tentative de résolution :

Soient A la base :

( 0 0 1 )
( 0 1 0 )
( 1 0 0 )

et f l'endomorphisme de R^3 de matrice A dans la base canonique (e1, e2, e3) de R^3.

Question : Montrer que B = (u1, u2, u3) tels que :

u1 = (1, 0, -1) = e1 - e3
u2 = (1, ;)2, 1) = e1 + ;)2 + e3
u3 = (1, -;)2, 1) = e1 - ;)2 + e3

est une base de vecteurs propres de f.

Donc là, j'ai fait :
f(u1) = f(e1) - f(e3) = (-1, 0, 1)
f(u2) = (-1, ;)2, 1)
f(u3) = (-1, -;)2, 1)

Et j'ai donc :

Mat g (dans la base B) =
( -1 -1 -1 )
( 0 ;)2 -;)2 )
( 1 1 1 ).

B est-elle une base de vecteurs propres de g ? (c'est la question).
Ben là je vois pas bien...

[laki]

bonsoir

la méthode est bonne mais attention aux erreurs de calcul, notamment quand tu prouves que la base (u1, u2, u3) (dont je te suggére de prouver que c'est bien une base de R^3 avant de faire le reste !) est une base de vecteurs propres de f : revérifie f(u2) et f(u3) !

a la prochaine

[les TPEistes]

Bonsoir laki,

f(u2) = f(e1 + ;)2 e2 + e3 = f(e1) + ;)2f(e2) + f(e3) = (0,0,1) + (0,;)2,0) + (-1,0,0) = (-1, ;)2, 1)
f(u3) = f(e1 - ;)2 e2 + e3 = f(e1) - ;)2f(e2) + f(e3) = (0,0,1) - (0,;)2,0) + (-1,0,0) = (-1, -;)2, 1)

C'est pas ça ??!

[laki]

rebonsoir

par exemple
f(u1) = f(e1 + sqrt(2)e2+e3)=f(e1)+sqrt(2)f(e2)+f(e3) et quand tu utilises la matrice A pour regarder la décomposition des f(ei) sur la base (e1, e2, e3),
f(e1)=e3, f(e2)=e2, f(e3)=e1 !
j'te laisse poursuivre

ps : inutile de revenir aux coordonnées ici

a la prochaine