Endomorphisme

[Davidmaths]

Bonjour !

Je suis nouveau sur le forum, je me présente je m'appelle David et je suis en L2 de maths. (Je début en latex excusez-moi d'avance si cela n'est pas clair)
J'ai un exercice qui me pose problème.

Je vous écris l'énoncé : On munit l'espace du produit euclidien usuel (x,y). On considère f, l'application de dans tel que

Il faut que je montre d'abord que f est un endormorphisme symtrique:

Ma définition dit qu'il faut que je vérifie que

Alors tout d'abord, j'ai montré que c'est un endomophisme donc que(j'ai réussi)
mais maintenant il faut qu'il est symtrique donc je pensais montrer que mais je n'y arrives pas en effet, je n'arrive pas à "transcrire" dans l'appliation.

Je vous remercie d'avance,
Bien cordialement,
David

[GaBuZoMeu]

Tu as oublié de dire qui sont u et v.

[Davidmaths]

Exacte ! une base de

J'ai réfléchi depuis et j'ai fait pour :
((x,u)v,y)+((x,v)u,y) = ((x1u1+x2u2)v,y)+((x1v1+x2v2)u,y)=(x1u1v+x2u2v,y)+(x1v1u+x2v2u,y)=(x1u1v,y)+(x2u2v,y)+(x1v1u,y)+(x2v2u,y)

J'ai également fait pour (x,f(y)) mais je ne trouve pas la même chose :


Je me demande si finalement dans la dernière ligne il faudrait pas que je décompose (pour (f(x),y)) x en x1,x2 et que je "développe" les produits scalaires. Mais je ne sais pas si c'est juste ...
Ou autrement peut-être mettre ce que j'ai mis en rouge sous forme colonne (v1,v2) et en vert (y1,y2) et pareil pour u1u2

[GaBuZoMeu]

Tu t'embrouilles, pourtant tu étais bien parti :



et là tu devrais remarquer que et sont des scalaires (produit scalaire) et qu'on peut utiliser la linéarité à gauche sans chercher à se compliquer la vie en développant ces produits scalaires.

[Davidmaths]

Oui je suis d'accord pour dire que (x,u) et(x,v) dont des produits scalaires

Si je prends la définition de la linéarité à gauche : ∀u′, u′′, v ∈ E, ∀λ′, λ′′ ∈ R, φ(λ′u′ + λ′′u′′, v) = λ′φ(u′, v) + λ′′φ(u′′, v)

Mais ici je ne vois pas comment l'utiliser ...
Est-ce

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas du tout : tu "sors" un vecteur au lieu de sortir un scalaire !!
Fais attention à la nature des objets que tu manipules.

[Davidmaths]

Ah donc je dois faire :
<f(x),y>=<x,u><v,y>+<x,v><u,y>

et<x,f(y)>=<x,(y,u)v+(y,v)u>= <y,u><x,v>+<y,v><x,u>
Donc je trouve bien la même chose !
Est-ce nécessaire de montrer que 'est un endormorphisme d'espace vectoriel ?

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est nécessaire et cette démonstration est très facile.

[Davidmaths]

Oui oui je l'ai fait j'ai montré que f(ax+y)=af(x)+y et j'ai réussi !

Je vous remercie pour votre aide !
Bonne journée à vous !
Bien cordialement
David

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.