Endomorphisme

[kerst]

On considère l'endomorphisme dans R3 :
f(x,y,z)=(y-z,-2x-y+z,-2x-y+z)

Determiner la matrice de f dans la base canonique notée A
Donner le noyau de f et une base correspondante
Determiner les conditions nécessaires et suffisantes sur les réels a,b,c pour que le système AX=(a b c) [vecteur colonne] ait au moins 1 solution. En déduire l'image de f et donner une base du sev

Pour la matrice de f dans la base canonique j'ai trouvé :


Ensuite pour le noyau je trouve {(x,y,z) |x=0 et y=z} ce qui me donne un sev de dimension 1 avec comme base (0 1 1)

Pour la 3eme je ne sais pas comment repondre

[Ben314]

Salut,
Déjà, il ty a une incohérence entre la définition de ta fonction et ta matrice (si ta fonction est bien celle là, la 2 em ligne de la matrice, c'est -2 -1 +1 et pas -2 +1 -1).

Ensuite, concernant la question 3), ben tu fait... ce qu'on te demande, à savoir résoudre le système (à priori par la méthode du pivot de Gauss que tu as du voir, mais toute autre méthode fonctionne).
Tu peut aussi (si tu veut et si tu l'a vu) écrire ton système en terme de "matrice augmenté", mais ça va rien changer au problème.
Bref, tu résout le truc et au final, tu va trouver que dans certain cas (pour a,b,c) il n'y a pas de solution et que dans d'autre cas (pour a,b,c), il va y avoir des solutions. Et par définition même, les vecteurs (a,b,c) pour lesquels il y a (au moins) une solution au système, c'est ceux de l'image de f.

[kerst]

Oui pardon je me suis trompée en recopiant la matrice.

Je trouve qu'il faut b=c pour que le système ait au moins une solution. S'agit-il d'une condition nécessaire et suffisante ? Cela veut dire que Im(f)={(x,y,z) | y=z} ? Et une base est (1,0,0),(0,1,1) ?

merci

[Ben314]

Oui, c'est bien une équivalence par définition même (de l'image) : les élément de Im(f), par définition c'est les vecteurs W qui peuvent s'écrire sous la forme W=F(U) pour un certain U.

Sinon, j'ai pas fait les calculs, mais ton résultat est parfaitement cohérent :
1) Tu trouve une image de dimension 2 et un noyau de dimension 1 ce qui fait bien un total de 3 (on a toujours dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(espace de départ de f)
2) Les 3 vecteurs colonnes de ta matrice (qui sont évidement dans Im(f) vu que ce sont les images par f des trois vecteurs (1,0,0) ; (0;1;0) et (0;0;1)) vérifient bien tout les trois la condition y=z (et x quelconque) que tu as trouvé.