Endomorphisme

[Miroir]

Bonjour, voilà un petit énoncé de maths qui me pose problème.
Merci aux bonnes âmes qui me débloqueraient !

Soit E=Rn[X]. Pour P dans E, on pose f(P)=Q avec pour tout x de R, Q(x)= P(x+t)dt , intégrale pour t de 0 à 1.

a) Montrer que f est un endomorphisme de E.
b) Montrer que f est bijective.
c) Montrer que f n’est pas diagonalisable.

a) Pas de problème
b) Je voulais montrer que 0 n'était pas valeur propre, mais je suis bloquée sur 0=;)P(x+t)dt car quelle justification donner pour montrer que P est le polynôme nul? (Intégrale de 0 à 1)
c) il faut sûrement le déduire de la question précédente.. Une piste ?

[Ben314]

Pour la b), montrer que 0 n'est pas valeur propre, c'est à dire que Ker(f)={0} et donc que f est injective peut être un premier pas, mais comme R[X] n'est pas de dimension finie, cela n'impliquera pas que f est bijective et il faudra quand même montrer que f est surjective.

Tout ça pour dire que j'attaquarais différement :
admet comme base et un endomorphisme est bijectif ssi l'image d'une base est une base (vrai même en dimension infini comme ici)

Pour le c), montre que la seule valeur propre possible de f est 1 en étudiant le degrés et le terme dominant de f(P) en fonction du degrés et du terme dominant de P [utilise ce que tu as vu au b)].
Si f était diagonalisable, qu'en dédurait-on ?

[Miroir]

Comme on travaille dans Rn[X], on est en dimension finie non? De dimension n+1 ?

b) J'ai essayé de trouver l'image de la base (1,X,X²..) par f. Je ne peux que calculer les premiers termes avec l'intégrale. J'obtiens:
- f(1)=1
- f(X)=X-1/2
- f(X²)=X²-X+1/3
- ... je ne peux rien démontrer par récurrence pour f(X^n)

Il faut montrer que c'est une base:
- libre: une combinaison linéaire de (f(1),f(X),...) = 0
Je ne sais pas comment prouver que pour tout n, le coefficient dominant de X^n est 1, et je n'arrive pas non plus à montrer que d°[f(X^n)]>d°[f(X^n-1)]>...>d°[f(1)]
Avec ses deux choses, on en déduirait que la famille est libre.
- famille libre maximale => base de Rn[X] <=> f bijective
c) j'y songe...

Merci pour les pistes

[alavacommejetepousse]

bonsoir

donner l'image de la base canonique semble bien

il suffit de connaitre ses primitives usuelles et de savoir développer par le binôme seul le terme dominant d'ailleurs compte pour écrire la forme de la matrice et répondre à toutes les questions demandées

[Ben314]

Comme on travaille dans Rn[X], on est en dimension finie non? De dimension n+1 ?

Désolé, j'avais mal lu l'énoncé (encore) donc :
1) Tu avais raison : vérifier que Ker(f)={0} suffirait à montrer que f est bijective.
2) J'avais raison dans le sens que chercher l'image de 1,X,X²,...,X^n est bien plus simple...

De plus, si on est dans Rn[X] alors, normalement, la toute première chose à faire est de vérifier que f est bien définie, c'est à dire que si P est un polynôme de degrés au plus n alors f(P) est aussi un polynôme de degrés au plus n.

Pour démontrer tout ça, fait ce que te dit alavacommejetepousse : du simple calcul de primitives...

[Miroir]

Très bien. Je me suis remise à l'exercice, j'ai résolu la question b), ce qui m'a permis d'exprimer l'image de la base de Rn[X] par f et de construire une matrice triangulaire supérieure avec que des 1 sur sa diagonale.
Donc la seule valeur propre possible est 1, mais dans ce cas la dimension de Ker(f-I)=n+1 puisque rg(f-I)=0 et du coup f serait diagonalisable !

A moins que j'ai dis une grosse bêtise...?

Si 1 valeur propre, alors f(P)=P avec P dans le sous espace propre associé.
et P(x) = ;) P(x+t)dt
Pour montrer qu'il y a que le polynôme nul qui répond à ceci (donc en contradiction avec ce que j'ai énoncé précédemment) , il faudrait résoudre
f(P)=P

ben 314: "Si f était diagonalisable, qu'en dédurait-on ?"
je ne vois pas?

[Ben314]

ben 314: "Si f était diagonalisable, qu'en dédurait-on ?"
je ne vois pas?

Comme tu l'as dit, la seule valeur propre de f est 1 donc, si f était diagonalisable, il existerait une base dans laquelle sa matrice serait diagonale avec que des 1 sur la diagonale, ce qui signifie que f devrait être égale à l'identité.
Or il suffit de voir que l'image du polynôme X n'est pas le polynôme X pour voir que f n'est pas l'identité (en supposant évidement que n est au moins égal à 1 !)