Endomorphisme P->P(1-X)

par **ghghgh** » 26 Mai 2010, 15:00

Bonjour, je cherche à déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres dans un premier temps de l'endomorphisme P->P(1-X) où

.
J'ai cherché à exprimer la matrice de cet end. puis à utiliser la technique classique pour trouver les valeurs propres, vecteurs propres, et éventuellement diagonaliser. Mais, c'est bête :s, je suis bloqué lors de la mise en forme sous matrice, les coefficients de cette matrice m'ont l'air assez dur à s'exprimer, je me trompe ? Faut-il procéder autrement ?

Merci pour tout indice !

par **Nightmare** » 26 Mai 2010, 15:32

Salut !

Pour avoir la matrice, il s'agit simplement de calculer les images des polynômes 1, X, X², ... X^n qui forment la base canonique de Rn[X], et pour ça rien de difficile, c'est le binôme de Newton.

par **yos** » 26 Mai 2010, 15:48

Sinon tu remarques que ton endomorphisme est une symétrie (u²=Id) donc le spectre est immédiat. Les vecteurs propres se trouvent assez facilement aussi.

par **ghghgh** » 26 Mai 2010, 15:57

En effet, merci :)

par **yos** » 26 Mai 2010, 17:29

Autre remarque : si P est vecteur propre pour la vp 1 (resp -1), alors P' est vecteur propre pour la vp -1 (resp 1).

par **ghghgh** » 26 Mai 2010, 18:45

oui, merci yos, je l'ai.
Je m'étais un peu trompé en exprimant la matrice au départ, et du coup j'avais manqué la diagonale alternée de 1,-1.

Endomorphisme P->P(1-X)

endomorphisme P->P(1-X)

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