Endomorphisme nilpotent

[Vupen]

Bonsoir,

Une petite aide pour la dernière question.

http://www.noelshack.com/2014-04-1390418354-nilpotent.png

Merci.

[wserdx]

Bonsoir,

Une petite aide pour la dernière question.

http://www.noelshack.com/2014-04-1390418354-nilpotent.png

Merci.

Calcule le quotient de par
Tu devrais trouver quelque chose comme

[Vupen]

J'ai en fait un peu de mal avec la notation ...

(id - u)oP(u) = P(u) - u(P(u)) ?

Mais merci de l'indication.

[mrif]

J'ai en fait un peu de mal avec la notation ...

(id - u)oP(u) = P(u) - u(P(u)) ?

Mais merci de l'indication.

Oui


et

est la composition de avec lui même j fois

Comme est linéaire:


Donc:

Et comme on doit avoir , il suffit de prendre

Comme , il est facile de déduire de ce qui précède l'inverse de

[Vupen]

Je te remercie pour ton aide. En effet, il suffit de prendre k = N -1. Par contre, faut aussi que je teste la composition par la gauche ? Je crois qu'il existeun théorème qui permet de ne tester qu'un seul coté de la composition pour montrer qu'une fonction est l'inverse cherché, mais je ne le retrouve plus ...

[mrif]

Je te remercie pour ton aide. En effet, il suffit de prendre k = N -1. Par contre, faut aussi que je teste la composition par la gauche ? Je crois qu'il existeun théorème qui permet de ne tester qu'un seul coté de la composition pour montrer qu'une fonction est l'inverse cherché, mais je ne le retrouve plus ...

Dans cet exercice on n'a pas besoin de vérifier à gauche et à droite car E est de dimension finie.
On a une égalité de la forme gof = Id donc gof est surjective (puisque Id est bijective), cela implique que g est surjective. dans un espace vectoriel de dimension finie, tout endomorphisme surjectif (ou injectif) est bijectif.

[Vupen]

Merci. :zen: