Endomorphisme nilpotent

par **Anonyme** » 28 Fév 2006, 12:45

bonjour je voudrais juste un petit coup de pouce pour montrer que si E est un ev de dim finie , f un endomorphisme de E tel que quelquesoit xE , il existe RxN tel que f^(Rx)=0 (où l'exposant désigne la composée Rx fois de f)
alors f est nilpotent i.e il existe rN , f^r=0

par **El_Gato** » 28 Fév 2006, 12:54

Salut,

Puisque pour tout x dans E,

, alors, pour tout x dans E, le polynôme

divise le polynôme caractéristique de f. Donc, pour tout x dans E

(n = dim(E)). Soit r le plus grand de tous les R(x) dans {0,...,n}. On a:

.

par **Anonyme** » 28 Fév 2006, 13:05

Merci pour votre réponse mais 2 petites choses :

La notation Rx ne désigne pas un polynome mais simplement un R qui dépend de x.
On a pas vu encore la notion de polynome caractéristique , de division de polynomes :(

Merci quand meme !

par **babulle** » 28 Fév 2006, 13:07

autre méthode:
E est de dim finie, notons la n. et soit B={e1,e2,...en} une base de E
on prend r = sup{R(e1), R(e2)... R(en)}, et on montre que

Endomorphisme nilpotent

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