Endomorphisme, espace vectoriel

[teamprepa]

Bonjour, je dois montrer qu'une application est un endomorphisme donc :
- même ensemble de départ et d'arrivée.
- linéaire

Pour la linéarité c'est fait mais j'ai un peu de mal sur l'autre point. Voici l'énoncé:

n un entier naturel supérieur ou égale à 2, Q un polynome de degrés 2 et f l'application définie sur Rn[X] par : f(P)=2P'Q-nPQ'

Mon but est donc de montrer que f(P) est de degré au plus n.
En procédant par les degrés j'ai trouvé

deg(P)<=n
deg(Q)=2
deg(2P'Q)=deg(2P')+deg(Q)<=n+1
deg(nPQ')=deg(nP)+deg(Q')<=n+1

d'ou deg(2PQ'-nPQ')<=max(deg(2PQ'),deg(nPQ'))<=n+1

Or moi ce que je voudrais c'est trouver inférieure oou égale à n ou strictement inférieur à n+1. Comment puis-je faire? Est ce qu'il y a une autre méthode que les degrés?

Merci d'avance pour votre aide

[MouLou]

Bonjour, je dois montrer qu'une application est un endomorphisme donc :
- même ensemble de départ et d'arrivée.
- linéaire

Pour la linéarité c'est fait mais j'ai un peu de mal sur l'autre point. Voici l'énoncé:

n un entier naturel supérieur ou égale à 2, Q un polynome de degrés 2 et f l'application définie sur Rn[X] par : f(P)=2P'Q-nPQ'

Mon but est donc de montrer que f(P) est de degré au plus n.
En procédant par les degrés j'ai trouvé

deg(P)<=n
deg(Q)=2
deg(2P'Q)=deg(2P')+deg(Q)<=n+1
deg(nPQ')=deg(nP)+deg(Q')<=n+1

d'ou deg(2PQ'-nPQ')<=max(deg(2PQ'),deg(nPQ'))<=n+1

Or moi ce que je voudrais c'est trouver inférieure oou égale à n ou strictement inférieur à n+1. Comment puis-je faire? Est ce qu'il y a une autre méthode que les degrés?

Merci d'avance pour votre aide

Salut, regarde le coefficient dominant (ie devant X^{n+1}) du polynome que t'obtiens

[teamprepa]

Salut, regarde le coefficient dominant (ie devant X^{n+1}) du polynome que t'obtiens

comment je le trouve?

[MouLou]

comment je le trouve?

bah tu poses le coefficient de dans P, et le coefficient de dans Q.

tu sais alors calculer sans problème le coefficient dominant de P'Q et de PQ' et c'est plié

[MouLou]

Enfin faut préciser que je prends P de degré n, sinon y'a évidemment aucun problème hein

[teamprepa]

bah tu poses le coefficient de dans P, et le coefficient de dans Q.

tu sais alors calculer sans problème le coefficient dominant de P'Q et de PQ' et c'est plié

merci beaucoup! c'est vraiment gentil