Espace vectoriel euclidien: endomorphisme et matrice

[rudy06]

Bonjour à tous.
J'ai un DM à faire mais je bloque sur quelques questions.
Voici l'énoncé du DM :

Soit E un de dimension et une forme bilinéaire symétrique (/) définie sur .
Dans tout le problème, on suppose qu'il existe une base de E telle que, pour tout i, et on pose, pour tout i et pour tout j, . On a donc et .
On pose pour tout , et pout tout , , et on note ={}

1. Vérifier que est un endomorphisme et déterminer .

2. Vérifier que est un sev de E et donner sa dimension.

3. Déterminer les valeurs propres et espaces propres de . Caractériser .

4. Montrer que, pour tout , .


Pour la suite, on considère deux entiers distincts i et j de {1,...,n} et on pose .

5. Verifier que est stable par . Dans toute la suite, on notera l'endomorphisme induit par sur .

6. Ecrire la matrice de dans la base

7. Dans cette question, on suppose que .

(a) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de .
est-il diagonalisable?
(b) Existe-t-il un entier tel que ?

8. Dans cette question, on suppose que .

(a) Montrer que est un produit scalaire sur et que est un endomorphisme orthogonal de pour ce produit scalaire.

(b) Donner une base orthogonale de pour le produit scalaire précédent.

(c) Montrer que et en déduire que et sont supplémentaires dans E.

(d) On suppose maintenant qu'il existe un entier tel que .

i. Montrer que est une rotation dont on précisera l'angle, en convenant que la base est directe.
ii. Montrer que et que, si , alors


Les questions 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7(a) ont été traitées en entier mais je bloque sur la question sur la question 7.(b) et 8.
Merci d'avance.