Endomorphisme d'un espace vectoriel

par **barbu23** » 25 Nov 2014, 14:03

Bonjour à tous,

En dimension finie, pourquoi la composée d'endomorphismes est inversible implique que chacun des endomorphismes est inversibles ?

En dimension infinie, est ce que la composée d'endomorphismes est inversible implique que chacun des endomorphismes est inversibles ? et pourquoi ?

Merci d'avance.

par **arnaud32** » 25 Nov 2014, 14:17

donc

par **barbu23** » 25 Nov 2014, 14:24

Merci pour ta réponse @arnaud32, mais à quoi cela est utile d'évoquer le fait que :

?
Merci d'avance. :happy3:

par **arnaud32** » 25 Nov 2014, 14:28

est injective, non surjective

es non injective , mais surjective
gof(x)=x donc gof est inversible

par **arnaud32** » 25 Nov 2014, 14:28

barbu23 a écrit:Merci pour ta réponse @arnaud32, mais à quoi cela est utile d'évoquer le fait que : ?
Merci d'avance. :happy3:

si fog est inversible rg(fog)=dim(E) tu as donc rg(f)=dim(E) et f qui et inversible
il te reste a voir que

qui est donc aussi inversible

par **barbu23** » 25 Nov 2014, 14:35

Merci. je crois que j'ai compris. :happy3:
Donc :

et :

car :

est un sous espace evctoriel de

, et donc :

. Ainsi,

est inversible. Idem pour

, car :

. Non ?
Cordialement. :happy3:

Edit : Merci @arnaud32. :++:

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