Endomorphisme et diagonalisation
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jonses
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par jonses » 31 Oct 2014, 21:42
Bonjour ou bonsoir,
J'essaye de faire un exo sur la diagonalisation des endomorphismes, mais là je bloque complétement. Je n'avance pas du tout, du coup j'aurai bien besoin d'un petit coup de pouce svp.
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Soit E un espace vectoriel réel de dimension n
Soient
deux réels
Soient
3 endomorphismes de E tels que :
Je dois déterminer si
est diagonalisable
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Je ne vois vraiment pas par où commencer : déterminer le polynôme caractéristique, déterminer les éléments propres... ?
J'ai essayé tout ça mais je n'arrive tout simplement pas à aboutir à quoi que ce soit.
Si quelqu'un peut maider svp.
je vous remercie d'avance pour vos réponses
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Ben314
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par Ben314 » 31 Oct 2014, 22:07
Salut,
Partant des 3 relations en question, j'essayerais d'obtenir une relation entre f^3, f^2, f et Id.
Ca te donnerais le polynôme minimal de f (ou un multiple de ce dernier) et si le polynôme n'a que des racines simples, c'est que f est diagonalisable.
P.S. Ton e.v. E, c'est un R-e.v. ou un C-e.v. ? (je sais pas si c'est utile...)
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jonses
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par jonses » 31 Oct 2014, 22:20
Ben314 a écrit:Salut,
Partant des 3 relations en question, j'essayerais d'obtenir une relation entre f^3, f^2, f et Id.
Ca te donnerais le polynôme minimal de f (ou un multiple de ce dernier) et si le polynôme n'a que des racines simples, c'est que f est diagonalisable.
Ok je comprends pourquoi je n'avançais pas : on n'a pas encore vu polynôme minimal d'un endomorphisme en détail (seulement en exo l'année dernière), et encore moins les résultats liés
Ben314 a écrit:P.S. Ton e.v. E, c'est un R-e.v. ou un C-e.v. ? (je sais pas si c'est utile...)
Je suis d'accord, l'énoncé est pas clair, mais je pense que c'est un R-ev
Merci en tout cas !
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Ben314
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par Ben314 » 31 Oct 2014, 22:31
De toute façon, que tu ait vu ou pas la notion de polynôme minimal, je pense qu'un truc utile, c'est de voir que tes trois relations impliquent que
f^2+ab f=0)
.
Donc, si
est une valeur propre de
et
un vecteur propre associé, ça te dit que
f^2+ab f)(x)=(\lambda^3-(a+b)\lambda^2+ab\lambda).x)
et, comme
, c'est que
\lambda^2+ab\lambda=0)
donc
Même si ce n'est pas la méthode attendue, ça risque d'aider de savoir que les seules valeurs propres possibles sont ces 3 là...
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jonses
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par jonses » 31 Oct 2014, 22:58
Ah ok !
Pour être honnête, j'ai pas pensé à trouver une telle relation (en tout cas pas avant que tu me parles de polynôme minimal qui m'a fait rappeler des souvenirs de l'année dernière)
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Ben314
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par Ben314 » 01 Nov 2014, 18:42
Bon, j'y arrive sans utiliser de polynôme minimal, mais c'est "très beaucoup capillotracté"...
En supposant
et
distincts et non nuls (sinon cas particulier simple...)
=f\circ\Big((f^2-b^2v)-b(f-bv)\Big)=f\circ(a^2u-bau)=a(a-b)f\circ u)
mais aussi
-b(a^2u+b^2v)=a^2(a-b)u)
Donc
de même on montre que
.
On décompose alors tout
sous la forme
où
)
,
)
et
-v(x))
et on a :
=f\circ u(x)=a u(x)=a x_1)
=f\circ v(x)=b v(x)=b x_2)
=f(x)-f\circ u(x)-f\circ v(x)=f(x)-a u(x)-b v(x)=0)
ce qui montre que
est diagonalisable.
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