Elément irréductible mais non premier...

par **DedenK** » 09 Mar 2009, 20:45

Bonsoir,

Je sais que dans un anneau commutatif unitaire et intègre, on a l'implication suivante mais pas la réciproque : PREMIER => IRREDUCTIBLE (c'est faux si l'anneau n'est pas intègre : ex. 4 dans Z/6Z qui est premier et non irréductible).

Je connais des contre-exemples à la réciproque en polynômes, mais j'en cherche un dans Z/nZ, sans y parvenir.
En effet, pour être irréductible, il faut aussi être non inversible (sinon c'est bidon car tout inversible est "irréductible"). De fait, on ne peut déjà pas se placer dans un corps (avec n premier) sans quoi tous les éléments sont inversibles, et on se retrouve donc dans Z/nZ non intègre avec n composé. Jusque là, ok.
Mais impossible de trouver un fichu n contre-exemple dans ces anneaux !!! Et je n'arrive pas non plus à prouver la réciproque... si elle est vraie... quelqu'un aurait-il une idée ?...

Merci beaucoup.
Cordialement, DedenK.

PS : j'ai implémenté un machin sous Maple pour regarder ça, mais jusqu'à n=30, pas le moindre contre-exemple... Ma machine est en train de tourner avec n=561 (le premier nombre de Carmichaël), car lorsqu'on cherche des contre-exemple, c'est en général vers les cas pathologiques qu'il faut se tourner... :-D Toutefois, avec ma programmation pourrie de boucles de boucles, j'ai à peu près une progression en O(n^3)... MDR Ca va donc sûrement tourner un bon moment ! :-p

par **pusep** » 09 Mar 2009, 21:13

4 dans Z/6Z qui est premier et non irréductible).

4 est premier????, il est divisible par 2...

par **ThSQ** » 09 Mar 2009, 21:14

Dans les anneaux factoriels (comme les K[X1, ...]) irréductible <=> premier donc ça risque d'être chaud !

Un exemple ad-hoc avec des polynomes : dans K[X,Y]/(X^2-Y^3) : X et Y sont irréductibles mais non premiers (X^2 = Y^3 sans que X divise Y ni l'inverse d'ailleurs)

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:18

DedenK a écrit:Bonsoir,

Je sais que dans un anneau commutatif unitaire et intègre, on a l'implication suivante mais pas la réciproque : PREMIER => IRREDUCTIBLE (c'est faux si l'anneau n'est pas intègre : ex. 4 dans Z/6Z qui est premier et non irréductible).

Pour toi, dans un anneau intègre, 0 est-il premier ? irréductible ?

DedenK a écrit:Mais impossible de trouver un fichu n contre-exemple dans ces anneaux !!! Et je n'arrive pas non plus à prouver la réciproque... si elle est vraie... quelqu'un aurait-il une idée ?...

La réciproque est vraie dans Z/nZ, car tout idéal premier de Z/nZ est maximal.

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:19

pusep a écrit:4 est premier????, il est divisible par 2...

[ 2² = 4 et 2 non inversible ] montre que 4 n'est pas irréductible.
4 est premier dans Z/6Z, oui, car il engendre un idéal premier.

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:22

[quote="leon1789"]Pour toi, dans un anneau intègre, 0 est-il premier ? irréductible ?

Il me semble que la réciproque est vraie dans Z/nZ...

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:23

DedenK a écrit:Bonsoir,

Je sais que dans un anneau commutatif unitaire et intègre, on a l'implication suivante mais pas la réciproque : PREMIER => IRREDUCTIBLE (c'est faux si l'anneau n'est pas intègre : ex. 4 dans Z/6Z qui est premier et non irréductible).

Pour toi, dans un anneau intègre, 0 est-il premier ? irréductible ?

DedenK a écrit:Mais impossible de trouver un fichu n contre-exemple dans ces anneaux !!! Et je n'arrive pas non plus à prouver la réciproque... si elle est vraie... quelqu'un aurait-il une idée ?...

Il me semble que la réciproque est vraie dans Z/nZ : irréductible => premier

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:31

DedenK a écrit:Bonsoir,

Je sais que dans un anneau commutatif unitaire et intègre, on a l'implication suivante mais pas la réciproque : PREMIER => IRREDUCTIBLE (c'est faux si l'anneau n'est pas intègre : ex. 4 dans Z/6Z qui est premier et non irréductible).

Pour toi, dans un anneau intègre, 0 est-il premier ? irréductible ?

DedenK a écrit:Mais impossible de trouver un fichu n contre-exemple dans ces anneaux !!! Et je n'arrive pas non plus à prouver la réciproque... si elle est vraie... quelqu'un aurait-il une idée ?...

Il me semble que la réciproque est vraie dans Z/nZ : x irréductible => x premier
-> utiliser la factorisation en nombres premiers de x dans Z , dire que x est irréductible dans Z/nZ, et obtenir que x engendre un idéal premier de Z/nZ.

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:38

ThSQ a écrit:Un exemple ad-hoc avec des polynomes : dans K[X,Y]/(X^2-Y^3) : X et Y sont irréductibles mais non premiers (X^2 = Y^3 sans que X divise Y ni l'inverse d'ailleurs)

Intéressant : j'ai l'impression que l'implication irréductible => premier dans Z/nZ fonctionne car Z est principal
(et ceci est faux dans ton exemple ad-hoc avec K[X,Y] ).

par **yos** » 09 Mar 2009, 21:49

Les irréductibles de Z/nZ sont parmi les diviseurs de n non?

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 21:54

yos a écrit:Les irréductibles de Z/nZ sont parmi les diviseurs de n non?

oui (à inversible près, bien sûr) puisque les irréductibles ne sont pas inversibles.

par **leon1789** » 09 Mar 2009, 22:05

yos a écrit:Les irréductibles de Z/nZ sont parmi les diviseurs de n non?

oui à un inversible de Z/nZ près,
car un irréductible de Z/nZ n'est un inversible, donc pas un élément régulier, donc associé à un diviseur de n.

par **leon1789** » 10 Mar 2009, 16:17

Mais au fait, ce sujet date depuis un an ! http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=60542
et visiblement l'auteur de ces questions se fichent un peu des réponses :triste: :triste:

par **yos** » 10 Mar 2009, 17:10

leon1789 a écrit:visiblement l'auteur de ces questions se fichent un peu des réponses

De quoi tu parles? Les questions sont générées par une machine et tu le sais bien.

par **yos** » 10 Mar 2009, 17:12

La preuve :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=84101

Un humain ne poserait pas cette question.

par **DedenK** » 10 Mar 2009, 19:43

Bonsoir et toutes mes excuses...

1) En effet, j'ai déjà posé la question l'an dernier, mais comme vous pouvez le lire, il n'y a pas eu de réponse probante dans Z/nZ dans la mesure où un inversible n'est pas premier... D'ailleurs, les irréductibles doivent aussi être non inversibles, si j'en crois différentes définitions trouvées sur le net.

=> Ma vision des choses ayant évolué, j'ai reformulé la question...

2) Je n'ai pas encore répondu à vos réponses car il y a eu un bug avec la notification par mail : je n'ai rien reçu et passe juste à l'instant, pour voir, à tout hasard !!!

3) Effectivement, la réciproque semble vrai dans Z/nZ... J'ai pensé à cette idée que si l'anneau est factoriel, la réciproque est vraie (cf. http://igd.univ-lyon1.fr/~okra/Ens/ATN/syllabus.html : "Dans un anneau factoriel : irreductible premier ( lemme d'Euclide )")
Reste à prouver que Z/nZ est un anneau factoriel... Or un anneau factoriel doit être intègre, par définition, et Z/nZ est intègre si et seulement si c'est un corps, donc si et seulement si n est premier... et ça ne va pas car si on a un corps, tous les éléments non nuls sont inversibles, et aucun n'est donc irréductible !!!

Aïe aïe aïe...
Cordialement, DedenK.

par **leon1789** » 10 Mar 2009, 20:19

yos a écrit:De quoi tu parles? Les questions sont générées par une machine

ah bon ?

yos a écrit:et tu le sais bien.

:hein: :hein: :hein: :hein:

par **ThSQ** » 10 Mar 2009, 20:22

DedenK a écrit:"Dans un anneau factoriel : irreductible premier ( lemme d'Euclide )")
Reste à prouver que Z/nZ est un anneau factoriel...

Les anneaux factoriels ne sont pas les seuls à avoir cette propriété !

@Léon : je crois qu'il te taquine.

par **leon1789** » 10 Mar 2009, 20:23

DedenK a écrit:1) En effet, j'ai déjà posé la question l'an dernier, mais comme vous pouvez le lire, il n'y a pas eu de réponse probante dans Z/nZ dans la mesure où un inversible n'est pas premier...

et alors ? Cela ne dispense pas de dialoguer un peu comme maintenant...

DedenK a écrit:3) Effectivement, la réciproque semble vrai dans Z/nZ... J'ai pensé à cette idée que si l'anneau est factoriel, la réciproque est vraie (cf. http://igd.univ-lyon1.fr/~okra/Ens/ATN/syllabus.html : "Dans un anneau factoriel : irreductible premier ( lemme d'Euclide )")

Tu ne m'as pas répondu sur 0 dans un anneau factoriel (ou intègre seulement) : est-ce un premier ? est-ce un irréductible ?

par **leon1789** » 10 Mar 2009, 20:27

ThSQ a écrit:@Léon : je crois qu'il te taquine.

ah bon ! Il blague bizarre aujourd'hui, yos :we:

Elément irréductible mais non premier...

Elément irréductible mais non premier...

Excuses...

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