Egalité

[mmelissa.Parker]

Bonjour a tous!
Voilà j'ai un exercice que je n'est pas commencer parce-que je sais tout simplement pas par ou commencer! :triste:

Voici l'énoncé:
1) Soit a,b 2réels avec ab<1 etablir la formule:

Arctan a + Arctan b= Arctan ((a+b)/(1-ab))

Que se passe t-il pour ab>1??

Merci de m'indiquer comment trouver cette égalité parce-que je suis complétement perdu là!!! :cry:

[COTLOD]

Cette formule dissimule une formule trigo classique sur tan. On pose :
[CENTER] et [/CENTER]
Il faut remplacer.

[Maxmau]

Bj

Autre méthode
On remarque que la formule est vraie pour b=0
Fixons b non nul et posons : ;)(x) = Arctan(x) – Arctan( (x+b)/(1-bx) )
;) n’est pas définie pour x=1/b.
Elle est dérivable sur ]-infini, 1/b[ et sur ]1/b , +infini[
Le calcul donne : ;)’(x) = 0
;) est donc constante sur chacun des intervalles où elle est définie

Sur ]1/b , +infini[
En faisant tendre x vers +infini on a :
;)(x) = ;)/2 – Arctan(-1/b) = ;)/2 + Arctan(1/b)
On sait que Arctan(x) + Arctan(1/x) = ;)/2 pour x >0 et - ;)/2 pour x <0
Donc si b >0 ;)(x) = ;) – Arctan(b)
Si b<0 ;)(x) = Arctan(b)
En faisant x=a, on a :
En résumé pour a > 1/b et b >0 on a:
Arctan(a) + Arctan(b) = ;) + Arctan( (a+b)/(1-ab) )
pour a > 1/b et b < 0 on a:
Arctan(a) + Arctan(b) = Arctan( (a+b)/(1-ab) )

Je te laisse le cas de ]-infini, 1/b[ et la synthèse (ab<1 et ab>1 )