Dérivé partielle et égalité de schwarz

[Rockleader]

Bonjour, je voudrais quelque précisions sur les dérivés partielles:

Si on a une fonction U(x,y) = xy

Sa dérivé partielle comment on sait si c'est x ou y...en fait quel paramètres doit on considérer comme une constante par rapport à l'écriture de départ.





Ensuite je ne comprends pas le principe de l'égalité de schwarz:

Par exemple quelle méthode suivre pour savoir si la fonction suivante vérifie l'égalité de schwarz

f(x,y)=3xy(x^3 + y^3) - (x^-4 + y^-4)





Dernier point, est ce que l'on peut dire qu'une différentielle est totale exacte lorsque schwarz est vérifié ?

[adrien69]

Bonjour, je voudrais quelque précisions sur les dérivés partielles:

Si on a une fonction U(x,y) = xy

Sa dérivé partielle comment on sait si c'est x ou y...en fait quel paramètres doit on considérer comme une constante par rapport à l'écriture de départ.


Ensuite je ne comprends pas le principe de l'égalité de schwarz:

Par exemple quelle méthode suivre pour savoir si la fonction suivante vérifie l'égalité de schwarz

f(x,y)=3xy(x^3 + y^3) - (x^-4 + y^-4)


Dernier point, est ce que l'on peut dire qu'une différentielle est totale exacte lorsque schwarz est vérifié ?

Salut,
Je me suis inscrit rien que pour te répondre t'as vu ?

Dernier point : Pour savoir si une différentielle est totale exacte, il faut s'intéresser à la forme différentielle dF

On a dF=Adx+Bdy où ici A et B sont les dérivées partielles de F par rapport à x et y respectivement.
Le théorème de Poincarré assure alors que sur la plupart des ouverts (connexe par arc est suffisant si mes souvenirs sont bons), ta forme différentielle est exacte si et seulement si elle est fermée. Soit encore si et seulement si dA/dy=dB/dx. Soit encore si et seulement si F vérifie l'égalité du théorème de Schwarz.

Deuxième point :

Pour vérifier qu'une fonction vérifie l'égalité de Schwarz deux méthodes s'ouvrent à toi.
Ou bien le calcul brutal : où tu calcules les dérivées partielles successives, qu'on utilise en général pour montrer que ta fonction n'est pas de classe C²
Ou bien justement le théorème de Schwarz, qui dit que si les dérivées partielles secondes croisées ( d²/dxdy et d²/dydx) existent au voisinage d'un point et son continues en ce point alors elles y coïncident (ce qui se simplifie généralement en F de classe C² implique F vérifie l'égalité de Schwarz)

Premier point :
Dériver partiellement une fonction c'est considérer toutes les variables comme étant constantes et dériver classiquement par rapport à celle qui te reste. Ici dans le cas de deux variables x et y, l'écriture d/dx veut dire que c'est la variable y qui est fixée. Et d/dy impliquera que tu considéreras x comme une constante.

Ainsi dans ton exemple,
dU/dx=y car y aura été considéré comme constant dans la dérivation,
Mais dU/dx dépend tout de même de x et de y, considérer y constant n'est qu'un artifice de calcul.


Attention néanmoins à cette écriture. Elle est certes pratique au début, mais dès que l'on touche à la composition elle nous pète à la gueule. Il faut bien que tu comprennes que d/dx signifie ici que tu dérives par rapport à la première coordonnée, pas par rapport à x. Même si à cause du contexte historique, ces deux notations coïncident.

Salut !

p-s. Promis je vais apprendre un peu le Latex. De toute façon il faut que je m'y mette.

Edit : je suis con, dans le théorème de Poincarré, la condition connexe par arc n'est pas suffisante, il suffit de considérer une forme différentielle sur R²\{0,0}, mais comme je ne sais pas écrire en latex, dire laquelle est difficile. Donc une condition suffisante est que ton ouvert soit étoilé. Ce qui est très souvent le cas.

[Rockleader]

Super merci pour toutes ces réponses: pour reprendre mon exemple:


f(x,y)=3xy(x^3 + y^3) - (x^-4 + y^-4)

Df/dx = 3x(x^3 + y^3) + 3xy*(3y²) + 4y^-5

Df/dy = 3y(x^3 + y^3) + 3xy*(3x²) + 4x^-5

Et donc schwarz serait vérifié si Df/dx = Df/dy ????

[adrien69]

Super merci pour toutes ces réponses: pour reprendre mon exemple:


f(x,y)=3xy(x^3 + y^3) - (x^-4 + y^-4)

Df/dx = 3x(x^3 + y^3) + 3xy*(3y²) + 4y^-5

Df/dy = 3y(x^3 + y^3) + 3xy*(3x²) + 4x^-5

Et donc schwarz serait vérifié si Df/dx = Df/dy ????

En fait tu t'es planté dans ton calcul :
Pour df/dx tu as dérivé par rapport à y au lieu de la faire par rapport à x, et vice-versa pour df/dy.
Ensuite le théorème de Schwarz concerne les dérivées partielles secondes. Donc il va falloir que tu pousses un peu plus loin le calcul et que tu calcules d/dx(df/dy) et d/dy(df/dx)

p-s. Merci d'avoir Itachi en avatar ça m'a fait penser à regarder l'épisode de Naruto d'aujourd'hui.

[Rockleader]

Pour faire un autre exemple simple

une fonction: x dx + y dy

là c'est relativement simple : dx/dy = 0 et dy/dx = 0

Les deux sont égales donc on a une forme fermée. Donc c'est une différentielle totale exacte et l'égalité de schwarz est vérifié.

(Pour aller un peu plus loin, si je devais donner une primitive d'une telle fonction je devrais procéder comment ?)





Ici c'était assez facile parce que j'avais déjà une forme Adx + Bdy...mais sur l'exemple que j'ai donné plus haut je n'ai pas cela, en fait on pourrait dire que j'ai la primitive... donc je vois pas trop comment on fait...

[Rockleader]

En fait tu t'es planté dans ton calcul :
Pour df/dx tu as dérivé par rapport à y au lieu de la faire par rapport à x, et vice-versa pour df/dy.
Ensuite le théorème de Schwarz concerne les dérivées partielles secondes. Donc il va falloir que tu pousses un peu plus loin le calcul et que tu calcules d/dx(df/dy) et d/dy(df/dx)

p-s. Merci d'avoir Itachi en avatar ça m'a fait penser à regarder l'épisode de Naruto d'aujourd'hui.

Oups oui pardon... en effet j'ai inversé...

AU final on aurait schwarz vérifié si

d(df/dy)/dx = d(df/dx)/dy

PS : je suis pas très friant des épisodes HS =)

[adrien69]

Pour faire un autre exemple simple

une fonction: x dx + y dy

là c'est relativement simple : dx/dy = 0 et dy/dx = 0

Les deux sont égales donc on a une forme fermée. Donc c'est une différentielle totale exacte et l'égalité de schwarz est vérifié.

(Pour aller un peu plus loin, si je devais donner une primitive d'une telle fonction je devrais procéder comment ?)





Ici c'était assez facile parce que j'avais déjà une forme Adx + Bdy...mais sur l'exemple que j'ai donné plus haut je n'ai pas cela, en fait on pourrait dire que j'ai la primitive... donc je vois pas trop comment on fait...

On n'appelle pas ça une fonction mais une forme différentielle.

En fait trouver une primitive d'une forme différentielle w c'est trouver f telle que df=w=Adx+Bdy.
La plupart du temps, pour l'exhiber c'est super délicat et astucieux. Il s'agit de trouver f telle que df/dx = A ET df/dy = B. Donc les exercices de L2 (tu es en L2/MP c'est ça ?) demandent la plupart du temps de dire si ça existe ou si ça n'existe pas.

Pour le mesage que tu as posté pendant que j'écrivais le mien, oui c'est bien ça, il faut que tu vérifies l'égalité que tu as écrite (regarde en (0,0) si tu veux un conseil)

p-s. C'est la première fois que je trouve un arc HS réussi

[Rockleader]

Euh non je ne suis encore qu'en L1...il s'agit d'exo pour les outils math, qui sont censé nous servir pour la physique.


Pour mon exemple je cherche donc

df/dx = X ==> X²/2 + k
df/dy = Y ==> Y²/2 + K

mais les deux prises indépendamment ne sont pas égales.

A moins que l'on prenne k de sorte que f(x,y) = X²/2 + Y²/2

[adrien69]

Euh non je ne suis encore qu'en L1...il s'agit d'exo pour les outils math, qui sont censé nous servir pour la physique.


Pour mon exemple je cherche donc

df/dx = X ==> X²/2 + k
df/dy = Y ==> Y²/2 + K

mais les deux prises indépendamment ne sont pas égales.

A moins que l'on prenne k de sorte que f(x,y) = X²/2 + Y²/2

Tu avais bien fait de noter k miniscule et K majuscule dans chacune des deux expressions. Mais réfléchis une seconde.
k dépend de quelles variables ? K desquelles ?

[Rockleader]

Tu avais bien fait de noter k miniscule et K majuscule dans chacune des deux expressions. Mais réfléchis une seconde.
k dépend de quelles variables ? K desquelles ?

je dirais d'aucunes variables.

k pourrait contenir du y tandis que K pourrait contenir du x


Je ne vois pas comment on peut résoudre ce type de problème. Me faudrait une réponse assez vite à ça, j'ai un ds dans deux heures :=)

[adrien69]

je dirais d'aucunes variables.

k pourrait contenir du y tandis que K pourrait contenir du x


Je ne vois pas comment on peut résoudre ce type de problème. Me faudrait une réponse assez vite à ça, j'ai un ds dans deux heures :=)

Oui en fait k dépend de y et K de x puisque dans la première tu intègres à y fixé, et dans la seconde x fixé. Il te reste à égaler les deux expressions que tu as trouvées pour f : celle avec le k et celle avec le K pour en déduire une expression générale pour f (à une constante, une vraie cette fois, près).

[Rockleader]

Tu veux dire qu'il suffirait de dire (X²+Y²) / 2 + Cste

avec Cste = k + K

mais j'ai du mal à m'en convaincre...

[adrien69]

Tu veux dire qu'il suffirait de dire (X²+Y²) / 2 + Cste

avec Cste = k + K

mais j'ai du mal à m'en convaincre...

Ah nononon ! Je ne veux pas dire ça ! Je ne suis pas cinglé !
Bon ton df/dx=x te dit que f(x,y)= x²/2 + k(y)
ton df/dy=y te dit que f(x,y)= y²/2 + h(x)

Tu en déduis que y²/2-k(y)=x²/2-h(x).
Là tu utilises le principe des variables séparées (si tu es en physique pas besoin de justifier)
Et tu dis que donc il existe une constante C telle que y²/2 -k(y)=x²/2-h(x)= C
On en déduit alors k(y) = y²/2 + C
h(x) = x²/2 + C
Et donc f(x,y) = (x²+y²)/2 + C où C ne dépend de rien du tout.
Et comme on a procédé par analyse, il faut que tu faces la synthèse et que tu vérifies que f ainsi donnée résout bien ton problème.

[Rockleader]

Et tu dis que donc il existe une constante C telle que y²/2 -k(y)=x²/2-h(x)= C

Pourquoi on a des - et pas des + ??? J'avoue que là j'ai pas suivi.

[adrien69]

Pourquoi on a des - et pas des + ??? J'avoue que là j'ai pas suivi.

Alors plus calmement :

f(x,y)=x²/2 + k(y)=y²/2 + h(x)

Tu fais passer k du côté de y²/2, h du côté de x²/2.
Tu te retrouves avec x²/2-h(x)=y²/2-k(y)

[Rockleader]

Alors plus calmement :

f(x,y)=x²/2 + k(y)=y²/2 + h(x)

Tu fais passer k du côté de y²/2, h du côté de x²/2.
Tu te retrouves avec x²/2-h(x)=y²/2-k(y)

Ah mais oui, désolé je suis pas assez attentif...

[adrien69]

Ah mais oui, désolé je suis pas assez attentif...

Bah, ça arrive à tout le monde à l'heure de la digestion.
Au fait, change le titre du sujet, ce n'est pas Schwartz, c'est Schwarz. Les deux sont de très grands matheux, mais tu les as confondus.

[Rockleader]

Merci pour le coup de main, j'ai plutôt bien géré mes math, j'ai loupé la partie physique mais ça je m'y attendais =)

[adrien69]

Merci pour le coup de main, j'ai plutôt bien géré mes math, j'ai loupé la partie physique mais ça je m'y attendais =)

Eh bien c'est parfait ! De toute façon la physique ça pue. :Troll:
Bonne soirée.