Inégalité de Hölder : Cas d'égalité

[zephira]

Bonjour,

La question que je vais vous poser est la fin d'un exercice d'optimisation assez simple ie :
inf sum(xi^4) i=1,...,d
sc : sum(xi)=1

Question:
En déduire Sum(|yi|)<=(d)^(3/4)*[(sum(yi^8))^8]
pour tout y=(y1,...,yd) dans Rd
Ok jusqu'a la tout va bien. On retrouve donc l'inégalité de Holder avec ai=yi bi=1
pour tout i dans [|1,...,d|]

ET la :
Précisez les cas d'égalités éventuels.
Je pense que la réponse est que yi=a pour tout i dans [|1,...,d|] ou a est quelconque. Par contre je n'arrive pas à le démontrer.
Une ptite solution?

Merci d'avance !!

[Ben314]

(RE)bonsoir,
Je n'ais pas trés bien compris la question.
Tu cherche les cas d'égalité dans l'inégalité de Holder ?
Si c'est ça, en suivant les étapes de la preuve, on trouve qu'une C.N.S est que les vecteurs (|a_i|^p) et (|b_i|^q) soient colinéaires.
Mais j'ai l'impression que ce n'est pas la question...

Je pense que je viens de comprendre qu'il faut que tu (re)démontre ce résultat à l'aide de ton optimisation (il m'a fallu longtemps à comprendre ton "sc" de l'énoncé...)
J'ai l'impression que, vu que tu as un seul minimum global, c'est assez simple : pour tout point distinct de ce minimum, il y a inégalité stricte...
(ou alors j'ai de nouveau pas compris...)

[zephira]

dsl pour le "sc" mais a force d'optimiser des fonctions sous contraintes j'ai meme pas pensé a expliciter.
Par contre je ne comprends pas tres bien ton explication. En effet tu dois retrouver le résultat grace a l'optimisation.

En effet j'ai un seul minimum global sous la contrainte d'égalité. Par contre on me demande de retrouver le resultat pour tout y dans Rd et pas seulement ceux situés sur l'hyperplan sum(yi)=1. Donc je n'arrive pas a généraliser a tout y dans Rd. Mais ca c'est pas très grave.

Par contre on me demande une fois l'inégalité établie de préciser le(s) ca(s) d'égalités. Vu que les "bi" valent tous 1. Je suppose d'apres ta CNS que les yi doivent etre tous égaux a A*1 ou A est une constante quelconque. Bref ils doivent tous être constant. Je me trompe?

[Ben314]

...on me demande de retrouver le resultat pour tout y dans Rd et pas seulement ceux situés sur l'hyperplan sum(yi)=1...

Je penses qu'en partant d'un y quelconque et en traitant 2 cas :
1) sum(yi)=0 -> l'inégalité est claire et les cas d'égalité pas trés difficiles à trouver
2) S=sum(yi) non nul -> tu divise le vecteur y par S pour te ramener au cas d'un vecteur de l'hyperplan. Et, dans le cas de l'hyperplan, l'égalité n'a lieu que pour le min global (sous contrainte)

Je pense que cela permet de conclure pour les deux questions (inégalité ET cas d'égalité)
Effectivement, tu devrait trouver que les seuls cas d'égalité sont ceux ou les yi sont tous égaux (en valeur absolu ou en module)