Egalité entre intégrale et somme.

[Anonyme]

Bonjour, je n'arrive pas à montrer l'égalité suivante :

[2*somme de k allant de 0 à n-1 de [(-1)^k]/[2k+1]] - Pi/2 =
intégrale de 0 à Pi/2 de sin(2nx)*tan(x/2)dx.

Je ne vois pas du tout comment faire ...
Merci d'avance de votre aide.

[yos]

Essaie par récurrence. En partant de l'intégrale.

[Anonyme]

J'ai essayé mais je n'y arrive pas

[yos]

.
Avec ça tu peux calculer .
Tu trouves , et c'est fini

[abcd22]

Pour n = 1 en bidouillant on trouve que sin(2x)tan(x/2) = 2cos x - 1 + cos(2x), ce qui permet de calculer l'intégrale (il faut commencer par utiliser 2 fois la formule sin(2a) = 2 sin a cos a pour pouvoir simplifier le cos(x/2) au dénominateur de tan(x/2), ensuite il faut utiliser sin²a = (1 - cos(2a))/2 et cos²a = (1 + cos(2a))/2).
Pour montrer le rang n + 1 à partir du rang n, si on appelle I(n) l'intégrale, on calcule
,
en utilisant d'abord , puis en rebidouillant on trouve , l'intégrale de ça vaut bien .