Dualité dans un groupe abélien fini

[Nightmare]

Hello,

je travaille sur l'exercice suivant :

Soit G un groupe abélien fini. On note son dual défini comme le groupe des morphismes , appelés caractères

1) Montrer que

Pas trop difficile, on décompose G en produit de groupes cycliques. Or le dual d'un groupe cyclique d'ordre n lui est isomorphe par (en ayant remarqué au préalable que les images d'un caractère sont toutes dans le disque unité) et le dual d'un produit est isomorphe au produit des duals, par le produit tensoriel.

2) Montrer que pour tout caractère ,

La plus simple idée que j'ai eu est la même que pour montrer que la somme des racines n-ème de l'unité différentes de 1 vaut 0, à savoir que je multiplie ma somme par un certain , alors d'où qui implique que la somme est nulle dès lors que n'est pas trivial. Sinon, on somme des 1 card(G) fois.

Voyez-vous une autre manière de procéder? J'avais pensé à faire un autre lien avec les racines de l'unité, en disant que chacune était prise un même nombre de fois par le caractère, mais je n'arrive pas vraiment à le justifier...

3) Montrer que pour tout ,

En utilisant la question précédente, j'ai simplement introduit la matrice où les sont nos n caractères qui est Hermitienne et donc sa transposée aussi.

Ne peut-on pas justifier proprement que cette égalité découle de l'autre de manière duale sachant qu'on peut montrer qu'on a un isomorphisme canonique de G sur son bidual


Merci pour votre temps
:happy3:

Edit : Je rajoute une question, à savoir si ces résultats persistent lorsque A n'est plus fini, mais disons par exemple de torsion?

[Doraki]

Voyez-vous une autre manière de procéder? J'avais pensé à faire un autre lien avec les racines de l'unité, en disant que chacune était prise un même nombre de fois par le caractère, mais je n'arrive pas vraiment à le justifier...

L'image de par G va dans le groupe (Un,*) pour un certain n.
On sait que la somme des éléments de Un est nulle si n>1, et chaque racine est prise |Ker | fois.

Pour la question suivante, tu peux faire pareil :
Pour tout a dans G, l'application -> (a) est un morphisme de groupes, etc.

[Nightmare]

L'image de par G va dans le groupe (Un,*) pour un certain n.
On sait que la somme des éléments de Un est nulle si n>1, et chaque racine est prise |Ker | fois.

Voilà ce que je n'avais pas vu... Merci Doraki.