Bonjour,
J'ai un gros problème avec la construction axiomatique de R :
Une des définitions est : "R est un corps commutatif totalement ordonné complet et archimédien".
Le problème, pas nouveau sans doute, c'est que pour parler de complétude, il faut une suite de Cauchy, pour parler de suite de Cauchy il faut une distance, et pour parler de distance il faut avoir construit R.
Pour la convergence, il n'y a pas de problèmes, on a la topologie de l'ordre, et on montre facilement que une suite converge vers si et seulement si
où
Pour les suites de Cauchy, on a une définition un peu étrange : on dit qu'une suite (u_n) est de Cauchy si
Le problème se pose déjà dans la construction de R à partir des suites de Cauchy à valeur dans Q, on parle de suite de Cauchy sans avoir de distance.
J'ai cherché des réponses, mais cela parle d'écart, de structure uniforme, de jauges, d'entourages, de filtres, d'ultrafiltres, beaucoup de concepts que je connais pas du tout, alors que je cherche simplement à me rassurer et à comprendre : qu'est-ce qu'une suite de Cauchy en général ? Peut-on parler d'espace complet sans distance, peut-on, si on. a un groupe abélien totalement ordonne non discret, parler de "groupe complet" ? Y a-t-il équivalence avec la définition usuelle, est-ce une généralisation dont le cas usuel serait un cas particulier ?
Je sais que ma question est vague, j'ai besoin de pistes. Faire toute la théorie des structures uniformes me parait très ambitieux (j'ai déjà du mal à voir l'équivalence entre la définition par écarts et celle par les entourages. Je n'arrive pas à voir quelle est la structure uniforme associée à un groupe ordonné (ce qui me parait la base).
Toutes les pistes et explications sont les bienvenues ! Merci d'avance