Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordonné

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chombier
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Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordonné

par chombier » 22 Déc 2021, 14:48

Bonjour,
J'ai un gros problème avec la construction axiomatique de R :
Une des définitions est : "R est un corps commutatif totalement ordonné complet et archimédien".
Le problème, pas nouveau sans doute, c'est que pour parler de complétude, il faut une suite de Cauchy, pour parler de suite de Cauchy il faut une distance, et pour parler de distance il faut avoir construit R.

Pour la convergence, il n'y a pas de problèmes, on a la topologie de l'ordre, et on montre facilement que une suite converge vers si et seulement si



Pour les suites de Cauchy, on a une définition un peu étrange : on dit qu'une suite (u_n) est de Cauchy si



Le problème se pose déjà dans la construction de R à partir des suites de Cauchy à valeur dans Q, on parle de suite de Cauchy sans avoir de distance.

J'ai cherché des réponses, mais cela parle d'écart, de structure uniforme, de jauges, d'entourages, de filtres, d'ultrafiltres, beaucoup de concepts que je connais pas du tout, alors que je cherche simplement à me rassurer et à comprendre : qu'est-ce qu'une suite de Cauchy en général ? Peut-on parler d'espace complet sans distance, peut-on, si on. a un groupe abélien totalement ordonne non discret, parler de "groupe complet" ? Y a-t-il équivalence avec la définition usuelle, est-ce une généralisation dont le cas usuel serait un cas particulier ?

Je sais que ma question est vague, j'ai besoin de pistes. Faire toute la théorie des structures uniformes me parait très ambitieux (j'ai déjà du mal à voir l'équivalence entre la définition par écarts et celle par les entourages. Je n'arrive pas à voir quelle est la structure uniforme associée à un groupe ordonné (ce qui me parait la base).

Toutes les pistes et explications sont les bienvenues ! Merci d'avance



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mathelot
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Re: Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordon

par mathelot » 22 Déc 2021, 18:04

chombier a écrit:Bonjour,
J'ai un gros problème avec la construction axiomatique de R :
Une des définitions est : "R est un corps commutatif totalement ordonné complet et archimédien".
Le problème, pas nouveau sans doute, c'est que pour parler de complétude, il faut une suite de Cauchy, pour parler de suite de Cauchy il faut une distance, et pour parler de distance il faut avoir construit R.


bah,non, on a une distance sur Q et des suites de Cauchy de rationnels. Elles vérifient
dans N tel que pour et on a |

après construction de R, on a la définition des suites de Cauchy dans R:
dans N tel que pour et on a |

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chombier
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Re: Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordon

par chombier » 22 Déc 2021, 18:09

Une distance c'est à valeur dans R.

Si (G, ., <=) est un groupe abélien totalement ordonné, on a une "distance" à valeur dans G : d(x,y)=max(x-y,y-x)

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Ben314
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Re: Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordon

par Ben314 » 22 Déc 2021, 22:54

Sinon, tant que R n'est pas construit et donc que tu ne peut pas utiliser stricto-senso la notion de distance à valeur dans R, ben tu utilise la notion de distance à valeur dans Q (avec bien evidement exactement les mêmes axiomes).
Et une fois R construit et démontré que Q est une partie de R, ben ca justifie que ta notion de distance à valeur dans Q, c'est bien une vraie distance au sens usuel (i.e. a valeur dans R)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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chombier
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Re: Suites de Cauchy dans un groupe abélien totalement ordon

par chombier » 22 Déc 2021, 23:19

Oui ça permet de construire R à partir de Q. C'est déjà très rassurant, c'est probablement le plus som :)

J'avais quand même très envie de montrer toutes cette propriété :

Soit K un corps commutatif totalement ordonné. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) toute suite croissante et majorée converge
(ii) tout ensemble majoré possède une borne supérieure
(iii) toute "suite de Cauchy" converge et K est archimédien
(iv) de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente

Ton idée marche aussi en fait. Comme K est isomorphe à R, la distance définie sur K est une distance au sens classique du terme.

Merci à tous les deux ! N'hésitez pas à me répondre si j'ai dit une betise !

 

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