Topologie de l'ordre dans un groupe abélien totalement ordon

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Bonjour à tous,
Une question me taraude depuis longtemps.

On considère un corps commutatif totalement ordonné (R n'est pas supposé construit)

Selon les ouvrages, la topologie sur K est définie de différentes façons :

1) La topologie de l'ordre, dont une base est constituée de l'ensemble
des avec ,
des ,
des ,
et de K tout entier

2) Une topologie dont la base est constituée uniquement des avec .

3) Une topologie définie par le fait qu'une base de voisinage de x est l'ensemble des , avec

(J'ai très envie d'ajouter une topologie métrique, mais la seule valeur absolue que je peux définir est à valeur dans K...)

Ces topologies sont-elles véritablement égales ?
Est-il nécessaire que K soit archimédien pour qu'elles le soient ?

[Ben314]

Salut,
Rappel : TOUTE reunion d'ouverts est ouvert (pas la peine que ce soit fini ni meme denombrable).
Et si on fait la reunion de tout les ]a,b[ pour tout b>a, ca donne quoi ?

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car si a<x<b alors x>a

Voyons pour l'inclusion réciproque. Si x>a, existe-t-il un b de K tel que a<x<b ?
C'est le cas uniquement il existe un b de K tel que b>x ?

Autrement dit l'inclusion réciproque est vraie si K n'est pas majoré.

Il est clair que K n'est pas majoré puisque x+1_K > x

donc

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J'ai une question plus générale.

Soit un groupe abélien totalement ordonné non nul.
(G peut être discret et/ou non archimédien)

La topologie de l'ordre sur G. Une base de cette topologie est constituée
des avec ,
des ,
des
et de G tout entier.

L'ensemble des intervalles de la forme avec et est-il une base de la topologie de l'ordre ?

Je pense que la réponse est oui mais ce n'est pas si facile à montrer !

On peut déjà montrer que G n'a pas de plus grand élément ni de plus petit élément.
Cela permet de montrer que l'ensemble des intervalles de la forme avec et est une base de la topologie de l'ordre.

[Ben314]

C'est quand même plutôt évident :
- Tout intervalle ]c-r,c+r[ est directement de la forme ]a,b[ d'où une première inclusion.
- Si x est dans ]a,b[ et que tu prend pour r le plus petit des deux éléments strictement positifs b-x et x-a alors ]x-r,x+r[ est contenu dans ]a, b[. Donc ]a,b[ est une réunion de ]c-r,c+r[ ce qui montre la deuxième inclusion.

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Merci Ben, je m'étais compliqué la vie. Je cherchais un epsilon dans ]0;r[ pour exhiber ]x-epsilon ; x+epsilon[ alors que ]x-r ; x+r[ conviens très bien.