Je reviens sur mon exemple et sur les groupes totalement ordonnés.
Et je propose de définir
ainsi :
.
Cette astuce se généralise à tous les groupes ordonnés :
Si
est un groupe ordonné, on appelle cône positif de G tout sous-ensemble
vérifiant :
(1)
(2)
(3)
Cette dernière condition étant trivialement vérifiée si G est abélien.
A toute relation d'ordre sur G compatible avec sa loi corresponds un cône positif
.
Inversement, à tout cône positif P de G corresponds une relation d'ordre compatible avec la loi
de G :
.
Ainsi,
la condition (1) reviens à dire que
est transitive.
la condition (2) reviens à dire que
est réflexive et antisymétrique.
la condition (3) reviens à dire que l'ordre est compatible avec la loi du groupe.
Il existe donc une correspondance bijective entre les relations d'ordre compatibles avec G et les cônes positifs de G.
Si l'on souhaite que la relation d'ordre soit totale, il faut ajouter une condition sur P :
(4)
Il y a alors quelque chose d'amusant, c'est que si
est un cône positif, alors
est un cône positif, qui définit la relation d'ordre duale :
On a ainsi trouvé deux cônes positifs de
:
et
Y en a-t-il d'autres ? Mystère... !