Ordre et groupe abélien

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai un exercice qui m'énerve un peu car je comprends pas, je tourne en rond...

Soient (G,.) un groupe et

1) Montrer que si xy=yx et si x et y sont d'ordre fini, d'ordres respectifs m et n, alors xy est d'ordre fini divisant ppcm(m,n) et que si pgcd(m,n)=1, xy est d'ordre ppcm(m,n).
2) Montrer que si G est abélien, l'ensemble des éléments de G d'ordre fini est un sous-groupe de G.
3) Montrer que si xy est d'ordre fini, yx l'est aussi. Que dire de l'ordre de yx ?

1) Je sais déjà que
Si j'arrive à prouver que m+n | ppcm(m,n) c'est gagné, si je me trompe pas.

Je sais pas comment m'y prendre, j'ai tenté de supposer que m+n | ppcm(m,n) et en disant que pgcd(m,n) = 1 on retombé sur ma supposition mais ça j'ai l'impression que ça prouve absolument rien...

Merci d'avance

[L.A.]

Bonjour,

1) ce que tu dis est faux : dans le groupe additif G=Z/6Z, 2 est d'ordre 3, 3 est d'ordre 2, mais (3+2).(2+3) = 25 n'est pas congru à 0 mod 6.

La raison est que (xy)^{m+n} = x^{m+n} y^{m+n} = x^m.x^n.y^m.y^n
ici deux termes s'annulent mais les termes "mixtes" n'ont aucune raison de s'annuler.

[chombier]

Bonjour,

J'ai un exercice qui m'énerve un peu car je comprends pas, je tourne en rond...

Soient (G,.) un groupe et

1) Montrer que si xy=yx et si x et y sont d'ordre fini, d'ordres respectifs m et n, alors xy est d'ordre fini divisant ppcm(m,n) et que si pgcd(m,n)=1, xy est d'ordre ppcm(m,n).
2) Montrer que si G est abélien, l'ensemble des éléments de G d'ordre fini est un sous-groupe de G.
3) Montrer que si xy est d'ordre fini, yx l'est aussi. Que dire de l'ordre de yx ?

1) Je sais déjà que
Si j'arrive à prouver que m+n | ppcm(m,n) c'est gagné, si je me trompe pas.

Je sais pas comment m'y prendre, j'ai tenté de supposer que m+n | ppcm(m,n) et en disant que pgcd(m,n) = 1 on retombé sur ma supposition mais ça j'ai l'impression que ça prouve absolument rien...

Merci d'avance

EDIT : bien vu L.A. Tu peux juste dire que (xy)^nm = e. Ensuite.

Soit k l'ordre de xy.
Alors (xy)^k=e
Or (xy)^nm=e
Et k <= nm

Il faut faire la division euclidienne de mn par k pour conclure, amha.

[Ncdk]

Ah oui, en effet, mais comment dire ça, quand on a seulement et , je sais pas comment j'aurai fait de toute manière pour voir illico que ça revient à dire que .

Il y a une astuce particulière pour voir ça, une définition ou propriété ?

Sinon pour la 1) du coup c'est bon.
La 2) est juste une preuve de sous-groupe j'ai pas trouvé de difficultés particulières.

Mais la 3) une chose que je comprends pas, c'est comme xy=yx, si xy est d'ordre fini, à fortiori yx aussi non ?

[zygomatique]

salut

alors tu ne sais pas grand chose .... et un calcul élémentaire te prouverait immédiatement que tu dis des bêtises ....


si x et y commutent alors ....


par contre

donc l'ordre de xy divise mn

[zygomatique]

vu tes questions montre nous la 1/ ....

[Ncdk]

En posant ce que je sais :

Soit H = =
Du coup |H|=m

Soit H' = =
Du coup |H'|=n

Comme H et H' sont deux sous-groupes de G, alors on a que HnH' est un sous-groupe de G.
Alors par Lagrange, |HnH'| divise donc m et n.

Alors si on revient à xy=yx ça implique que

Comme , alors du coup

On introduit donc k, qui dit que , et avec .
donc implique que donc , et du coup et ce qui implique immédiatement que k est un multiple de l'ordre de x, donc de m, et de n qui est l'ordre de y.

Conclusion : et donc

[L.A.]

3) on n'est plus dans le cas commutatif ici (sinon en effet la question est rapidement tranchée).
Il faut que tu relies xy à yx d'une certaine manière pour être sûr qu'ils ont même ordre.
(exemple : si tu sais que a^2 = b et que a est d'ordre fini alors b est d'ordre fini)

[Ben314]

Ah oui, en effet, mais comment dire ça, quand on a seulement et , je sais pas comment j'aurai fait de toute manière pour voir illico que ça revient à dire que .

Absolument... pas du tout...
Il faudrait peut être comprendre que deux équations A=C et B=C ne sont évidement pas équivalente à une seule équation A=B.
Par exemple, ici, si tu prend alors pour absolument n'importe quelle valeur de m et n et ça ne prouve évidement strictement rien concernant .

Et je comprend pas trop non plus pourquoi vous cherchez du "compliqué" là où c'est trivial :
Par définition même, p=ppcm(n,m) est multiple de n (donc x^p=e) et aussi un multiple de m (donc y^p=m) ce qui implique, dans le cas où x et y commutent, que (xy)^p=x^py^p=e.e=e donc l'ordre de xy divise p.

[Ben314]

Soit H = =
Du coup |H|=m
Soit H' = =
Du coup |H'|=n
...

Ca, par contre, c'est effectivement la bonne façon de procéder dans le cas où pgcd(m,n)=1 ce qui va impliquer que (i.e. je crois pas qu'il y ait franchement plus rapide)

[Ncdk]

3) on n'est plus dans le cas commutatif ici (sinon en effet la question est rapidement tranchée).
Il faut que tu relies xy à yx d'une certaine manière pour être sûr qu'ils ont même ordre.
(exemple : si tu sais que a^2 = b et que a est d'ordre fini alors b est d'ordre fini)

Ah oui, en fait je pars d'un certain n qui est l'ordre de xy. Du coup (xy)^n=e
Il faut que j'arrive à modifier ça pour avoir à la fin un (yx)^k=e

Je fais pareil en partant de (yx)^k=e pour arriver à quelque chose du style (xy)^n=e.

On me dit de discuter de l'ordre de yx, donc à mon avis, soit c'est le même que xy, soit c'est c'est un peu comme on a vu dans les questions précédentes.

J’espère que ma façon de raisonner est pas trop brouillon ^^

[Ncdk]

Ca, par contre, c'est effectivement la bonne façon de procéder dans le cas où pgcd(m,n)=1 ce qui va impliquer que (i.e. je crois pas qu'il y ait franchement plus rapide)

En fait c'est notre prof qui nous a dit d'essayer de se ramener à ça en fait.
Mais ainsi dire la seule chose que j'utilise sans forcément avoir compris c'est le fait que pgcd(m,n)=1 implique que |HnH'|=1

[Ben314]

C'est immédiat : est un sous groupe de donc son ordre divise l'ordre n de et comme c'est aussi un sous groupe de donc son ordre divise l'ordre m de
Donc, en toute généralité, l'ordre de divise m et n donc pgcd(m,n).

[Ncdk]

C'est immédiat : est un sous groupe de donc son ordre divise l'ordre n de et comme c'est aussi un sous groupe de donc son ordre divise l'ordre m de
Donc, en toute généralité, l'ordre de divise m et n donc pgcd(m,n).

Ah oui j'avais tout, du moins presque !
Merci

[zygomatique]

si on pose d = pgcd(m, n) et p = ppcm(m, n) alors

m = du et n = dv avec pgcd(u, v) = 1 et xy = dp dudv = dp p = duv


donc

donc l'ordre de xy divise ppcm(m, n)


si d = pgcd(m, n) = 1 alors ppcm(m, n) = mn

alors il existe a et b tels que am + bn = 1

donc pour tout k : akm + bkn = k

si on veut que alors

puisque la relation am + bn = 1 pgcd(m, n) = pgcd(m, b) = pgcd(a, n) = pgcd(a, b) = 1

que k est multiple de m et de n donc de mn = ppcm(m, n)

donc ppcm (x; y) divise l'ordre de xy

....

[Ben314]

si on veut que alors
puisque la relation am + bn = 1 pgcd(m, n) = pgcd(m, b) = pgcd(a, n) = pgcd(a, b) = 1

que k est multiple de m et de n donc de mn = ppcm(m, n)

Je comprend pas ce que tu fait, en particulier il veut dire quoi le "que k est multiple de m et de n" ?
Et il sort d'où ?

Je dit ça, parce que ta prose donne un chouïa l'impression que tu considère que truc.bidule=e implique que truc=bidule=e...

[zygomatique]

... alors ça implique , puisque ....,

que k est ...



[quote]
Je dit ça, parce que ta prose donne un chouïa l'impression que tu considère que truc.bidule=e implique que truc=bidule=e..[quote]

oui parce que pgcd(m, n) = 1

[Ben314]

oui parce que pgcd(m, n) = 1

Certes, mais quel rapport avec ton "donc k est multiple de n" ?
Pourrait tu détailler le raisonnement (je suis pas totalement certain que c'est faux, mais j'ai un très très gros doute...)

Pour être très précis, de ça , tu déduit quoi précisément ?

[zygomatique]

il me semble que de am + bn = 1 on en déduit que la seule issue pour obtenir et d'avoir k multiple de m et de n donc de ppcm(m, n) ...

[Ben314]

il me semble que de am + bn = 1 on en déduit que la seule issue pour obtenir et d'avoir k multiple de m et de n donc de ppcm(m, n) ...

Si tu avais un peu plus que du "il me semble", ça ressemblerait peut-être un peu plus à ce qu'on appelle en général une "preuve mathématique"... :ptdr:

P.S. Ça m'intéresse de voir si tu t'en sort comme ça vu que perso, la seule preuve qui me vient à l'esprit, c'est la "classique" qu'on trouve partout consistant à commencer par montrer que n={e} (en le disant explicitement ou sans vraiment le dire)