Divisions de polynomes
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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gol_di_grosso
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par gol_di_grosso » 10 Nov 2007, 10:58
boujour,
On veut décrire tous les polynômes
tels que
soit divisible par
^4)
et
soit divisible par
^4)
.
Et je dois montrer que si le problème admet une solution, alors il en admet une de degré inférieur à 8
déjà on a ça :
P+1 = 0 (mod
^4)
)
P-1 = 0 (mod
^4)
)
Je penses que le plus simple serait de trouvé un truc de la forme A=BQ + P avec deg B = 8 mais je n'y arrive pas...
des idées ?
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ThSQ
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par ThSQ » 10 Nov 2007, 14:28
et
sont premiers entre eux.
Bezout : il existe U et V de degree < 4 tels que
^4 + V*(X+1)^4 = 1)
.
Alors
 = (U*(X-1)^4 - V*(X+1)^4)/2)
est une solution et elle est de degré < 8.
Edit : d'ailleurs c'est pas la peine de diviser par 2, mais bon.
Edit2 : se relire avant de poster nawak
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gol_di_grosso
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par gol_di_grosso » 10 Nov 2007, 14:59
merci
mais comment tu sais que c'est inférieur à 3 ?
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ThSQ
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par ThSQ » 10 Nov 2007, 15:01
J'm'a gouru, c'est < 4 (et pas < 3) et c'est Big Bizout qui nous le dit !
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 10 Nov 2007, 15:11
on a
^4|p(x)-1)
et
^4|p(x)+1)
donc
^3|p'(x))
et
^3|p'(x))
et
=1,p(1)=-1)
d'ou
^3(x+1)^3|p'(x))
donc
=c+\int_{0}^{x}Q(x)(x^2-1)^3 dt)
avec
(x^2-1)^3=-1)
et
(x^2-1)^3=1)
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gol_di_grosso
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par gol_di_grosso » 10 Nov 2007, 15:20
bon merci
je vais m'inspirer de la solution de ThSQ en développant un peux
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