Division euclidienne

[e5mm100]

Bonjour j'ai un problème un exercice :

exercice : Quel est le reste de la division euclidienne de 10^61 par 61

le prof nous a donné le corriger et la réponse est 10, le problème c'est qu'il nous a pas donné la méthode, juste la réponse et du coup je comprends pas pourquoi 10

pouvez vous m'aider ?

[catamat]

Bonjour
Je ne sais pas s'il y a plus simple mais avec les congruences on peut y arriver

donc

et


à partir de là on peut aller plus vite puisque 60=4*3*5 on va élever à la puissance 3 puis à la puissance 5 pour obtenir



et

Il reste juste à multiplier par 10 pour avoir

[Black Jack]

Bonjour,

Ou bien à la main :

10^2/61 --> reste = 39 (on multiplie le reste par 10 pour la ligne suivante et on divisera le résultat par 61 ... et on trouvera le reste)
10^3/61 --> même reste que (39*10)/61, soit 24 (on refait la même chose 60 fois)
10^4/61 --> même reste que (24*10)/61, soit 57
On continue jusque :
10^60/61 --> même reste que (55*10)/61, soit 1
10^61/61 --> même reste que (1*10)/61, soit 10

Cela permet de manipuler des petits nombres dans les calculs.

Et si on sait utiliser un tableur ... on fait faire les calculs par le tableur (qui lui ne fait pas de fautes de distraction).

[mathelot]

Bô jour,
61 est un entier premier, 10 et 61 sont premiers entre eux, donc
modulo 61
D'apres le petit théorème de Fermat

[tournesol]

Et oui , efficacité de la théorie sur la force brute .
Audiard a dit qu'un intellectuel assis va moins loin qu'un con qui marche .
Un mathématicien assis va plus loin qu'un con qui marche .
Donc un mathématicien assis n'est pas un intellectuel .
Lewis Carroll ???

[Ben314]

Audiard a dit qu'un intellectuel assis va moins loin qu'un con qui marche .

le problème c'est de savoir si c'est forcément futé d'avancer :

Lorsque j'ai pris le pays en main, nous étions au bord du gouffre.
Grace à moi, nous avons fait un grand pas en avant.