Polynome et division euclidienne

[Azuriel]

Me replongeant pour un exo dans mes souvenir polynomiaux mais n'ayant pas mes cours avec moi j'ai donc quelque questions.

Pour montrer qu'un polynome divise un autre polynome est ce que si l'on montre que toute les racines de notre polynome diviseur sont racines du polynome à diviser alors on a bien le reste qui est nul ?

Je vous explique pourquoi je pense que cela est bon.

A= BQ + R avec par def deg(R)<=deg(B)

Donc puisque A s'annule pour toutes les racines de B et que le deg de R est inferieur au degré de B (qui est donc de degré le nombre de racine * leur multiplicité) alors forcement R=0 puisque de degré inferieur alors que si comme par hasard toute les racines de B étaientégalement racine de R alors R seraient du meme degré que B et donc soit identique àune constante pres (le coef dominant) et donc incorporer dans le Q, soit nul et donc dans tout les cas il est nul donc B|A ?

Ex : On me demande de montrer que B=P(X)-X divise A=P(P(X))-X quelque soit P polynome, alors j'ai dit que toute racine de B étaient racine de A donc le reste est nul, c'est bon ?

[fahr451]

bonjour

B = (X-1)^2 a toutes ses racines qui sont racines de A= X-1 et pourtant
B ne divise pas A il faut regarder les multiplicités

[Azuriel]

Oui en effet...Mais comment faire pour gérer le probleme avec les multiplicité, il faut donc montrer qu'ici toute racine est d'ordre 1 mais comment faire..car j e n'ai aucun renseignement sur P'..

[fahr451]

on ne passe pas par les racines ici


on montre d 'abord que P - X divie P°P - P

en écrivant la somme et en utilisant la factorisation

a^k - b^k

[Azuriel]

Ah donc le fait de montrer que que B(P(X)-X) est divisible par P(X)-X en prenant B les monomes X^k de la base canonique et de montrer que ça marche pour tous alors puisque c'est un ev on en deduit que c'est vrai pour B quelconque ?

[fahr451]

P (X) = sigma k = 0 ,...,n a(k) X^k

P°P = sigma k = 0,...,n a(k) P^k


P°P - P = sigma k = 1,...,n a(k) [P^k -X^k]

chaque P^k - X^k est divisible par P- X donc P°P - P aussi

puis P°P - X = P°P - P + P- X l 'est également

[Azuriel]

D'accord merci beaucoup mais est ce que montrer que ça marche sur les monomes est un raisonnement correct ?

[fahr451]

a priori non

il faudrait exhiber une certaine application linéaire

etP-> P°P n'est pas linéaire