Divisibilité

[sad13]

Bonsoir, je bloque bêtement pour montrer cette propriété

42=7*6 avec 7 et 6 premiers entre eux ; pour prouver qu’un nombre est divisible par 42, il suffit de prouver qu’il est divisible par 7 et aussi par 6.?


je sais que si 7|n et 6|n ; comme 7 et 6 sont premiers entre eux, on a 7*6=42|n

Mais cela ne suffit pas...

[Trident]

C'est une conséquence du théorème de Gauss.
De manière général :

si a | c , b |c et si pgcd(a,b)=1 , alors ab | c.

Preuve :

a | c <===> Il existe k dans Z tel que c = ka

b | c <===> Il existe k ' dans Z tel que c = k'b

pgcd(a,b) = 1 <====> d'après Bezout, il existe un couple (u,v) dans Z² tel que au + bv = 1

au + bv = 1 <==> acu + bcv = c <==> a(k'b)u + b(ka)v = c <===> ab(k'u) + ab(kv) = c

<===> ab (k'u + kv) = c <===> ab | c

[sad13]

Merci, j'avais écrit
je sais que si 7|n et 6|n ; comme 7 et 6 sont premiers entre eux, on a 7*6=42|n mais cela suffit?

Sinon on peut démontrer ce que t'as écrit seulement avec gauss

a | c <===> Il existe k dans Z tel que c = ka

b | c <===> Il existe k ' dans Z tel que c = k'b

ainsi ka=k'b donc b|ka or a^b=1 d'où: b|k donc il existe k" dans Z tel que :

k=bk" et donc : c=ka=bk"a=abk" d'où: ab|c

[Trident]

Bonsoir, je bloque bêtement pour montrer cette propriété

42=7*6 avec 7 et 6 premiers entre eux ; pour prouver qu’un nombre est divisible par 42, il suffit de prouver qu’il est divisible par 7 et aussi par 6.?


je sais que si 7|n et 6|n ; comme 7 et 6 sont premiers entre eux, on a 7*6=42|n

Mais cela ne suffit pas...

Pour prouver qu'un nombre est divisible par 42, il suffit de prouver qu'il est divisible par 7 et aussi par 6.

Si t'arrives à montrer qu'un nombre qu'on va noter m est divisible par 7 et par 6 , alors tu auras montré qu'il est divisible par 42.
Pourquoi ?

a|c , b|c , (a^b) = 1 ====> ab | c

Soit un nombre m auquel on veut prouver qu'il est divisible par 42. On veut alors montrer : 42/m.

Si on montre que 7|m et 6|m, comme (7^6)=1 , alors en utilisant l'implication ci dessus, il vient :
7*6 | m d'où 42|m.

Ça suffit donc.

[sad13]

Oui oui, tout à fait; vu l'heure tardive, le cerveau avait du mal lol

Sinon, tu es d'accord avec ma démo? Du coup on a deux façons de montrer la propriété..

Merci @ beintôt

[nodjim]

C'est aussi la conséquence directe du théorème qui veut que chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.

[sad13]

Merci Nodjim; ma démo de "si a | c , b |c et si pgcd(a,b)=1 , alors ab | c." est correcte?

[manoa]

Merci Nodjim; ma démo de "si a | c , b |c et si pgcd(a,b)=1 , alors ab | c." est correcte?

Oui c'est correcte ,

un petit détail : pas besoin d'introduire le k' ,on peut dire c=ka , b divise c donc b divise ka