Divisibilité

par **skilveg** » 17 Mai 2009, 20:57

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un ici saurait démontrer que si

et

sont des entiers naturels,

divise

? Quand

est une puissance d'un nombre premier, c'est assez simple, mais sinon je sèche... (En fait peut-être que c'est faux!)

Merci et bonne soirée

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 21:33

Salut !

Je cherche je cherche... Le problème c'est qu'en essayant avec plusieurs couples, le comportement des diviseurs est assez aléatoire. Ce que je veux dire c'est que des fois les 3 premiers facteurs du produit vont directement contenir n! et d'autres fois il faut attendre le dernier facteur pour conclure. Bref, ça s'annonce mal !

Vu que c'est simple pour une puissance d'un nombre premier, une idée serait de décomposer en facteurs premiers sauf que ça n'avance pas à grand chose.

Je te tiens au courant de l'avancée !

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 21:49

As-tu fait vérifié par un logiciel voir si c'était vrai pour de grands nombres?

par **skilveg** » 17 Mai 2009, 21:56

Salut!

Oui, j'ai essayé numériquement jusqu'à ce que la machine en ait marre...

Pour le coup je me pose un problème plus général, et qui risque donc d'être un peu inaccessible si on n'arrive pas à faire ce cas particulier: si un polynôme prend des valeurs entières en toutes les puissances des nombres premiers, est-ce qu'il prend des valeurs entières en tous les entiers?

Bonne chance en tout cas!

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 22:02

Il suffirait de prouver que le polynôme a tous ces coefs entiers ce qui semblerait être le cas.

Le problème est intéressant en tout cas. J'ai essayé la récurrence basique sur n, à moins de ne pas avoir remarqué quelque chose de remarquable, ça ne mène à rien.

par **skilveg** » 17 Mai 2009, 22:10

Pour les coefficients entiers, ça a peu de chances de marcher, par exemple à cause de

. Par ailleurs, il ne suffit pas de prendre des valeurs entières en chaque nombre premier pour être à valeurs entières; donc, soit il faut vraiment exploiter le fait que ce sont toutes les puissances des nombres premiers que l'on regarde, soit il faut chercher ailleurs...

Bonne nuit

par **lapras** » 18 Mai 2009, 06:13

Salut,
ton énoncé est vrai et pas tres difficile à prouver, je te met ma solution ce soir. (ca utilise les valuations p adiques)

par **skilveg** » 18 Mai 2009, 07:48

Salut,
D'accord. J'avais essayé comme ça et ça n'avait pas l'air de marcher, mais si tu le dis...

par **Nightmare** » 18 Mai 2009, 13:57

Tu es sûr que ça marche Lapras avec les valuations p-adiques? Comme je l'ai dit, lorsque p et n deviennent grand, la "répartition" des facteurs premiers de n! dans les facteurs semble aléatoire!

par **busard_des_roseaux** » 18 Mai 2009, 16:39

je ne sais si ça aide

je vois bien un morphisme style théorème chinois ??

par **yos** » 18 Mai 2009, 17:11

busard_des_roseaux a écrit:

La formule de Legendre (

) montre que

.

Si p|q, alors

divise

, donc

divise le produit P.

Si au contraire p ne divise pas q, on applique le théorème de Fermat :
p divise

, et par suite il divise aussi

,

, ... ce qui fait bien

facteurs p planqués dans notre produit.

par **lapras** » 19 Mai 2009, 06:11

Voila c'était cette démo dont je parlais avec les valuations p adiques.

par **skilveg** » 19 Mai 2009, 11:54

Bien vu. Merci à tous les deux.

par **leon1789** » 21 Mai 2009, 13:19

yos a écrit:La formule de Legendre () montre que .

en fait, c'est

, ce qui permet de gagner un (seul petit) facteur dans P et comme le montre yos
n! divise

par **skilveg** » 21 Mai 2009, 15:27

leon1789 a écrit:en fait, c'est

Comment est-ce que tu montres cette majoration?

par **leon1789** » 21 Mai 2009, 16:21

skilveg a écrit:Comment est-ce que tu montres cette majoration?

On part de la formule de Legendre :

où E désigne la fonction partie entière et

un entier tel que

.
On majore

, d'où

Mais

et p-1 sont des entiers, donc on peut affiner l'inégalité :id: :

donc

d'où

par **skilveg** » 21 Mai 2009, 16:48

En effet. Je ne sais pas si c'est indispensable pour le résultat du début.

Sinon, est-ce que quelqu'un a une idée pour le problème des polynômes prenant des valeurs entières sur les puissances des nombres premiers?

par **leon1789** » 21 Mai 2009, 17:53

skilveg a écrit:En effet. Je ne sais pas si c'est indispensable pour le résultat du début.

indispensable pour le résultat du début, évidemment non,
mais cela donne un résultat un poil plus précis :
n! divise le produit portant sur

(le facteur donné par k=0 est inutile).

skilveg a écrit:Sinon, est-ce que quelqu'un a une idée pour le problème des polynômes prenant des valeurs entières sur les puissances des nombres premiers?

tu sais que pour tout entier n impair, on a n²=1 mod 8
Considère le polynôme (X-2) (X²-1)/8 :id:
Les images des tous les entiers impairs sont entières. Celle de 2 aussi. Mais pour les autres nombres pairs, c'est faux à 75%.

EDIT : argh, tu dis puissances des nombres premiers. Bon, il me manque les puissances de 2...

par **skilveg** » 21 Mai 2009, 18:04

leon1789 a écrit:(le facteur donné par k=0 est inutile).

Ah oui, je n'avais pas saisi ça.

leon1789 a écrit:tu sais que pour tout entier n impair, on a n²=1 mod 8
Considère le polynôme (X-2) (X²-1)/8 :id:
Les images des tous les entiers impairs sont entières. Celle de 2 aussi. Mais pour les autres nombres pairs, c'est faux à 75%.

Ben oui mais ce n'est pas un contre-exemple, vu que ça ne prend pas de valeurs entières en toutes les puissances de deux... :triste:

[Edit: argh, tu as modifié ton message pendant que j'écrivais le mien :we: ]

par **leon1789** » 21 Mai 2009, 22:30

skilveg a écrit:[Edit: argh, tu as modifié ton message pendant que j'écrivais le mien :we: ]

c'est un véritable TOC chez moi, je modifie tout le temps mes messages . Impossible de faire autrement ! :ptdr:

skilveg a écrit:est-ce que quelqu'un a une idée pour le problème des polynômes [FONT=Arial][à coefficients complexes][/FONT] prenant des valeurs entières sur les puissances des nombres premiers?

(il y a surement plus simple !) alors P est à valeur entière sur toutes les puissances des nombres premiers, mais pas sur tous les entiers naturels.

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