Coefficients binomiaux et divisibilité

par **BiZi** » 30 Oct 2006, 13:14

Bonjour,

Voici le problème: montrer que Vp(

) (c'est la valuation p-adique de k parmi p^n)=n-Vp(k) pour tout p premier, n entier naturel et 0<=k<=(p^n)-1

Je trouve en fait plutôt n-vp(k!)....

Merci d'avance de m'éclairer!

(Vp(n) est la valuation p-adique de n, c'est à dire le coefficient porté par p dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers).

par **alben** » 30 Oct 2006, 17:29

BiZi a écrit:Bonjour,

Voici le problème: montrer que Vp() (c'est la valuation p-adique de k parmi p^n)=n-Vp(k) pour tout p premier, n entier naturel et 0<=k<=(p^n)-1

Bonsoir,
Non c'est bien le résultat de l'énoncé n-Vp(k).
Qu'as tu fait ?

par **BiZi** » 30 Oct 2006, 17:55

p^n divise (p^n)*(p^n-1)*....*(p^n-k+1) donc p^(n-Vp(k!)) divise ((p^n)*(p^n-1)*....*(p^n-k+1)/k!)(d'après GauB)=k parmi p^n. D'où Vp(k parmi p^n)>=Vp(k!). Et là il "suffit" de montrer que pour a>n-Vp( k!) on a p^a qui ne divise pas k parmi p^n.

Mais comme le résultat n'est pas n-Vp(k!) ca risque pas de focntionner...

Un petit indice peut-être? :id:

par **alben** » 30 Oct 2006, 18:27

C'est beaucoup plus compliqué, il y a beaucoup plus de facteurs p dans

que

pose

avec s=Vp(k) et

le plus petit a non nul
calcule Vp(k!)

par **BiZi** » 30 Oct 2006, 18:45

J'avais oublié de préciser qu'il faut le faire sans calculer Vp(k!), puisque cette question ne sera posée que dans la suite du problème. J'imagine donc qu'il y'a un moyen plus simple de le montrer.

par **alben** » 30 Oct 2006, 19:15

Oui, en fait ce n'est pas très compliqué par récurence sur n

devient

Il suffit de montrer qu'il n'y a que le premier terme qui apporte un facteur supplémentaire (les autres sont imposés par les termes soustraits).
Et bien sur montrer la relation pour n=1
PS Et zut, je n'ai pas pris en compte le fait que k pouvait prendre une valeur supérieure quand n augmente

par **BiZi** » 30 Oct 2006, 22:22

Et donc? :hein:

par **yos** » 30 Oct 2006, 23:02

Ensuite on remarque que les facteurs j (au dénominateur) et

(au numérateur) ont même valuation p-adique pour j entre 1 et k-1.
De sorte que la valuation du quotient est celle de

.

par **anima** » 31 Oct 2006, 09:57

BiZi a écrit:p^n divise (p^n)*(p^n-1)*....*(p^n-k+1) donc p^(n-Vp(k!)) divise ((p^n)*(p^n-1)*....*(p^n-k+1)/k!)(d'après GauB)=k parmi p^n. D'où Vp(k parmi p^n)>=Vp(k!). Et là il "suffit" de montrer que pour a>n-Vp( k!) on a p^a qui ne divise pas k parmi p^n.

Mais comme le résultat n'est pas n-Vp(k!) ca risque pas de focntionner...

Un petit indice peut-être? :id:

C'est Gauss, pas Gaub :/

par **BiZi** » 31 Oct 2006, 14:46

anima a écrit:C'est Gauss, pas Gaub :/

Oui, c'est bien ce que j'ai mis.
Je te laisse réfléchir.

Merci beaucoup yos et alben je vois que je m'étais pris la tête pour rien :id:

par **yos** » 31 Oct 2006, 21:05

Merci à toi. J'ai bien aimé cet exo. Il a une solution simple et pourtant je croyais d'abord que la formule de Legendre (qui donne Vp(n!)) était indispensable pour le résoudre. C'est quand tu as dit qu'elle ne venait qu'après que je me suis gratté la tête.

Coefficients binomiaux et divisibilité

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