Distance réelle

[mehdi-128]

Bonjour,

Soient a et b 2 réels quelconques.
Soit et

1/ Calculer et .

2/ Montrer que le minimum est le centre diminué du rayon et que le maximum est le centre augmenté du rayon.

Je vois pas comment faire la 1.
Pour la 2 je comprends rien c'est quoi le rayon ici ?

[hdci]

Bonjour,

Pour la première question : essayez par disjonction : vous supposez que , que vaut alors , ? Que vaut , ?
Puis vous supposez que : est-ce que cela change quelque chose (il suffit d'inverser dans les calculs précédents et )

Pour la seconde question : c'est en lien avec la "topologie" : intuitivement, dans le plan, le rayon d'un disque est la valeur tel que tous les points du disque sont à une distance inférieure ou égale à du centre du disque (on peut également dire "inférieur strictement" cela fait un "disque ouvert" par rapport à un "disque fermé" : comme pour les intervalles dans , "ouverts" ou "fermés" selon qu'ils contiennent ou non les deux bornes

On généralise facilement à la dimension 3 (avec une boule), et finalement à toutes les dimensions d'un espace vectoriel : qu'est-ce que cela devient pour la dimension 1, autrement dit, quel serait l'ensemble des nombres (sur la droite numérique) qui sont à une distance inférieure ou égale à d'un certain "point" ?

[mehdi-128]

Soit et

1er cas :

Alors et donc et

2 eme cas :

Alors et donc et

Du coup j'obtiens dans tous les cas :

Par contre pour j'ai 2 cas je vois pas comment simplifier.

Si je note :

Si : donc donc
Si : donc donc

Pour la question 2, je vois pas trop comment trouver le rayon dans cet exemple

[hdci]

Pour le début, oui c'est cela, ne dépend pas de l'ordre de et et est bien égal à la valeur absolue de la différence.

Pour le "rayon", prenez un exemple.

Soit : quel pourrait donc bien être le "centre" de cet intervalle ?
Seconde question, en prenant et deux réels comment pourrait-on définir la distance entre et ?
Alors, si par analogie avec le plan on définissait le "disque" comme étant tous les réels dont la distance à un point appelé "centre" est inférieure à une certaine valeur appelée "rayon", dans le cas et compte tenu du centre, quel serait le rayon ?

Une fois que vous avez répondu à ces questions, pouvez-vous généraliser avec avec ? Puis avec la paire en utilisant les valeurs et précédemment identifiées ?

[mehdi-128]

Le centre de l'intervalle est 0.

D'après le cours, l'application qui va de dans :
définit une distance sur

Dans cet exemple le rayon vaut 1. Tous les points de ont une distance par rapport à 0 inférieur ou égale à 1.
La distance d'un point à 0 vaut :

Si on prend l'intervalle avec :
Le centre est
Le rayon est

Pour la suite, je dois calculer m et M ?

[pascal16]

tu as inversé les formules de centre et de rayon

"b = centre +rayon" car

centre +rayon
= (a+b)/2 +(b-a)/2
= a/2+b/2+b/2-a/2
=b

On peut remarquer au passage que cette formule correspond à celle de la géométrie repérée (le repère n'a pas besoin d'être ni normé, ni orthogonal).

[mehdi-128]

En effet Pascal !

Si on prend l'intervalle avec :
Le centre est
Le rayon est

Du coup : ?

[mehdi-128]

On a :




En sommant les 2 égalités :


Et :

D'où :

Je comprends pas ici quel est le centre de l'intervalle ? Quel est le rayon ?

[hdci]

Pour vous avez trouvé que le centre était 0 et le rayon 1.

Donc pour ... ?

[mehdi-128]

Pour vous avez trouvé que le centre était 0 et le rayon 1.

Donc pour ... ?

Le rayon vaut :

Le rayon vaut :

Je trouve le bon résultat merci

[hdci]

Le rayon vaut :

Le centre voulez-vous dire (mais c'est sûrement un lapsus )