Analyse d'une variable réelle

[Mandy]

Bonjour,
Je suis en 2 ème année de licence de Mathématiques et j’ai un petit problème dans un TD d’analyse à une variable réelle sur les ensembles denses, j’aurai voulu savoir si quelqu’un pourrai m’aider.
Voici l’énoncé :

Est-ce que l’ensemble {(2^n)/(3^k) pour n et k appartenant à N } est dans ds [0 ; plus l’infini[ ?

Merci d’avance !!

[yos]

Bonsoir.
Oui, il me semble que c'est le cas.
En prenant le logarithme des éléments de cet ensemble E, on a l'ensemble E' des réels qui est un sous-groupe additif de . Ces sous-groupes sont de deux types : les denses et les discrets. Celui-ci est dense car est irrationnel.
Par conséquent l'image E de E' par la fonction exponentielle est dense dans (et donc aussi dans ).

[fahr451]

ça "doit" marcher mais ici on n'a qu' un semi groupe ; n, k étant naturels

[yos]

ça "doit" marcher mais ici on n'a qu' un semi groupe ; n, k étant naturels

Quelle soirée! Je ferais mieux d'aller me coucher.
Comme tu dis ça doit marcher. Au pire avec de l'approximation diophantienne de ln2/ln3. Je vais chercher plus simple.

[Mandy]

Merci pour votre aide.
Par contre j'ai un petit problème, je ne vois pas commen montre que ln2/ln3 est irrationnel.
Pourriez-vous m'aider?

Merci d'avance

[tize]

Par l'absurde, si avec a et b des entiers alors après calculs avec toujours a et b des entiers (), c'est impossible (l'un est pair l'autre non)

[Mandy]

Merci beaucoup avec tt ca je vais essayer de continuer maintenant.

[yos]

Le fait que n et k soient dans et pas dans empêche de raisonner avec les sous-groupes additifs de , comme l'a justement fait remarquer fahr451. Je propose donc une approche un peu différente.

Il faudrait trouver n et k entiers naturels tels que , ou encore .

Si x est un réel, on peut l'approcher autant qu'on veut par des rationnels. Mais donne seulement . Et comme en s'approchant de x, q risque fort de grandir , donc aussi, on a un problème. Il faut être un peu plus fin et c'est un petit problème classique d'approximation diophantienne.

Soit . Les n réels x-E(x), 2x-E(2x), ... , nx-E(nx) sont tous dans [0,1], donc on peut trouver deux d'entre eux qui sont distants de 1/n au plus : soit avec p, q entiers positifs.

Le problème de trouver n et k entiers naturels tels que . est donc résolu. Ensuite on multiplie par des naturels m pour s'approcher autant qu'on veut d'un réel positif quelconque.

C'est pas immédiat mais on n'a plus besoin de la structure des groupes additifs de .

A noter l'utilisation clé du principe des tiroirs (appelé aussi principe de Dirichlet, ce que je trouve insultant pour ce pauvre Gustave, lui qui a démontré des théorèmes très profonds et dont le nom reste attaché à une banalité pareille).

[jose_latino]

Bonjour,
Je suis en 2 ème année de licence de Mathématiques et j’ai un petit problème dans un TD d’analyse à une variable réelle sur les ensembles denses, j’aurai voulu savoir si quelqu’un pourrai m’aider.
Voici l’énoncé :

Est-ce que l’ensemble {(2^n)/(3^k) pour n et k appartenant à N } est dans ds [0 ; plus l’infini[ ?

Merci d’avance !!

Il y a une façon plus élémentaire de faire ça. On peut utiliser le même technique qui sert à montrer que les nombres rationels positifs sont denses en . Soient avec , donc il existe tel que , car . En outre, prend le plus petit tel que (on peut justifier ça avec aussi). Tu peux démontrer que . Bon courage! :we:

[jose_latino]

Bonjour,
Je suis en 2 ème année de licence de Mathématiques et j’ai un petit problème dans un TD d’analyse à une variable réelle sur les ensembles denses, j’aurai voulu savoir si quelqu’un pourrai m’aider.
Voici l’énoncé :

Est-ce que l’ensemble {(2^n)/(3^k) pour n et k appartenant à N } est dans ds [0 ; plus l’infini[ ?

Merci d’avance !!

Il y a une façon plus élémentaire de faire ça. On peut utiliser le même technique qui sert à montrer que les nombres rationels positifs sont denses en . Soient avec , donc il existe tel que , car . En outre, prend le plus petit tel que (on peut justifier ça avec aussi). Tu peux démontrer que . Bon courage! :we:

[fahr451]

un problème josé
2 2^n/3^k n'a aucune raison d'être dans l'intervalle imposé .La différence avec "la" preuve de la densité de Q dans R est que : (n+1)/k = n/k +1/k
en revanche la preuve de la densité de sin (n) [n dans N] dans [-1,1] utilise le
même genre d'argument que celle nécessaire ici.

[yos]

Et oui j'y crois pas non plus. Il faut k grand donc n grand aussi, et du coup les puissances de 2 considérées sont éloignées les unes des autres.

[Mandy]

Merci à tous pour votre aide.

Je n'ai pu consulté vos réponse que maintenant car je n'ai pas accès au net toute la semaine.
Je dois rendre ce devoir demain et honnetement ça me parait très compliqué et j'ai bien peur de ne pas réussir.
Pourriez vous m'aider d'ici ce soir ? (je sais que ca fait juste niveau temps,mais je n'ai vraiment pas pu faire autrement).
Cet exercice nous a été donné par notre prof pour nous permettre de remonter nos notes d'examen qui sont catastrophique, il nous a autorisé à demander de l'aide à qui l'on veux car il la dis lui même ce n'est pas vraiment de notre niveau.Et très honnetement j'ai vraiment besoin des 4 ou 5 points qui va donner si l'exercice est juste.
Si quelqu'un pourai m'expliquer comment faire assez dans le détail car je ne connais aucun des théorème ou des principes que vous sité.

Merci d'avance

Une étudiante de L2 complètement perdue.... :briques:

[yos]

Pourriez vous m'aider d'ici ce soir ?

Et tout ce qui précède alors, ça ne te convient pas?

[Mandy]

Si bien sur mais je ne comprends tt ce qui est écrit, comment trouver i et j dans ce qui suit :

Soit . Les n réels x-E(x), 2x-E(2x), ... , nx-E(nx) sont tous dans [0,1], donc on peut trouver deux d'entre eux qui sont distants de 1/n au plus : soit avec p, q entiers positifs.

[yos]

On n'a pas besoin de les trouver. Ils existent, ça suffit.
Ensuite on pose i-j=p et E(ix)-E(jx)=q.

[Mandy]

D'accod merci.

Et donc avec les renseignements que vous m'avez donné on peut conclure que l'ensemble est dense ou il faut encore démontrer quelque chose?

[yos]

Le message 8 donne tout. Essaie de détailler chaque point.
Cela dit c'est plus simple à écrire si n et k sont dans Z. Es-tu sûre de ton énoncé?

[Mandy]

oui oui je suis sur de mon énoncé je viens encore de vérifier ma feuille et le prof nous a dis que tout était bon dessus.

[yos]

En ce cas la solution du message 8 est adaptée.