Le discret et le continue

[Lulu_007]

Bonjour !
Je suis actuellement en maths sup et planche sur un texte extrait d'un conférence de Gustave Choquet "Le continue, le discret...et tout le reste" pour un faire un bref exposé.
> J'aurais voulu savoir si vous pouviez avant tout m'éclairer sur la notion de continue/discret qui reste un peu flou pour moi encore ?
L'auteur donne quelque exemple, en informatique par exemple, les calculateurs analogiques ont été remplacé par les ordinateurs et leur système binaire pour traiter l'information, en maths une intégrale de fonction continue est une limite d'une somme finie de Riemann...
> Auriez vous d'autres exemple qui pourraient m'aide a comprendre cette opposition continue/discret ? Est ce que, en mécanique quantique, la quantification des niveaux d'énergie d'une particule, pourrait être un exemple du discret en physique ?

Mais la ou je ne comprend vraiment plus, c'est quand l'auteur commence a parler de déterminisme (dans la théorie cinétique des gaz et "l'attracteur d'Hénon" en autre ), de fractales ...
> Quel est le rapport avec mes notions de continue/discret ?

Merci beaucoup !!

[alavacommejetepousse]

bonjour

jolie question

un seul exemple fréquent en proba

le temps est perçue tantôt comme un phénomène discret
on a une évolution aux dates 0,1,2,3...

tantôt comme un phénomène continu
les variables aléatoires sont à valeurs dans R+

et un même problème peut se traiter soit avec un modèle continue soit discret.

[Maxmau]

Bj

Exemple de l’ analyse numérique – quelques réflexions .

Il ne faut pas opposer continu et discret. Les deux se complètent .
L’analyse mathématique réelle se préoccupe des problèmes issus de la notion de nombre réel : fonctions réelles, équations, équations différentielles, intégrales………..Cela surtout d’un point de vue qualitatif : Elle définit de nouveaux êtres mathématiques, elle montre l’existence et l’unicité de la solution de certains problèmes (la solution est un nombre, un vecteur, une fonction) ; elle essaie de caractériser le mieux possible cette solution et arrive quelquefois à la formuler explicitement mais cela est très rare (sauf dans les exercices posés aux étudiants où tout est combiné pour que ça se passe bien : le polynôme caractéristique d’une matrice a toujours des racines entières ou égales à la rigueur à ½ ou 2/3)…etc.)
L’analyse numérique prend alors le relais de l’analyse mathématique en se préoccupant surtout de l’aspect quantitatif. Là où l’analyse mathématique affirme « seulement » l’existence et l’unicité de la solution,l’analyse numérique cherche des méthodes permettant de calculer une approximation de la solution. Pour cela elle discrétise le problème théorique pour le rendre accessible au calcul et cherche alors des algorithmes performants.
Exemples : calcul d’une intégrale définie (méthodes des trapèzes ; de Simpson, Romberg,) ; calcul des racines d’une équation (Newton…) ; résolution d’équations différentielles (Euler, Taylor, Runge Kutta…), résolution de système linéaires…etc ….. Un domaine important est la résolution numérique des équations aux dérivées partielles. On dit que c’est l’avance de soviétiques dans ce dernier domaine qui leur a permis de devancer les américains dans la conquête spatiale (du moins au début).
Naturellement la première chose que discrétisent les numériciens est le nombre réel. Les nombres réels se prêtent très mal au calcul, on leur préfère les décimaux. Ne pas en conclure que la notion de nombre réel serait inutile, tout au contraire. C’est dans le cadre des nombres réels qu’on peut affirmer que certaines équations ont des solutions. Une des plus célèbres : x² = 2. Et pourtant on n’a pas attendu les nombres réels pour chercher des valeurs approchées de la diagonale du carré de côté 1. Souvent la recherche d’une approximation d’une solution dont on pressent l’existence précède la construction mathématique qui établit rigoureusement l’existence de cette solution. En plaisantant, on peut dire que les réels ont été construits pour avoir la satisfaction de savoir ce qu’on approxime ( racine de 2 par exemple) . A un autre niveau et plus récemment, je ne crois pas dire de bêtises (je ne connais pas vraiment le sujet) que la résolution numérique des équations aux dérivées partielles a suggéré la construction d’espaces très compliqués où ces équations ont des solutions.