Dimensions et rang de matrice

[Lodie]

Bonsoir tout le monde,
mon problème se situe en algèbre matricielle
j'aurais aimé connaître un relation entre les dimensions de la matrice A, le rang de la matrice A et le nombre de solution de Ax=b.
Merci d'avance :we:

[fahr451]

bonsoir

parlons plutôt de la taille de la matrice

A de taille n, p : A a n lignes et p colonnes

A représente une application linéaire f de K^p dans K^n

le rang de f est celui de A
AX = B ssi f(x) = b

1 si b n'est pas dans Imf

il ya zéro solution à l'équation quel que soit le rang de f

2 si b est dans Im f

il ya (au moins) une solution x0

les solutions s 'écrivent x0 + h avec h dans kerf

kerf est un sev de dim p - rang f
donc deux sous cas
a)si rg f = p ( f injective) il y a exactement une sol x0
b)si rg f < p il y a une infinité de sols


rem si f est surjective ( id est rg f = n) on est forcément ds le cas 2

en résumé il y a 0 ou 1 ou une infinité de sols