Rang d'une matrice symétrique

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Pour quelles valeurs de , la matrice suivante :
A =
0 a b
a 0 c
b c 0
est de rang ?
Merci d'avance. :happy3:

[chan79]

Bonjour à tous : :happy3:
Pour quelles valeurs de , la matrice suivante :
A =
0 a b
a 0 c
b c 0
est de rang ?
Merci d'avance. :happy3:

salut
dans un premier temps, calcule le déterminant

[fatal_error]

hop,

une alternative par rapport à la méthode de Chan79. Décompo en carrés de GJ.
X=[x,y,z]
q(X)=X'AX=2 (axy+bxz+cyz)
q(X)=a(x+(y/a+bz/a))^2) - a(y/a+bz/a)^2 + cyz=a(x+(y/a+bz/a))^2) + R(y,z)
avec
R(y,z)=- a(y/a+bz/a)^2 + cyz=-y^2/a-b^2z^2/a+cyz
R(y,z)=-a(y+cz/2)^2 - ac^2z^2/4-b^2z^2/a
q(X)=a[x+(y/a+bz/a)]^2 + -a[y+cz/2]^2 - (ac^2/4+b^2/a)z^2
rang2 signifie un des carrés vaut 0.
Donc soit a = 0 soit ac^2/4+b^2/a=0
si a=0, vaut traiter à la main (division par zéro).
Sinon ac^2/4+b^2/a=0
a^2c^2/4+b^2=0
(ac/2)^2 = -b^2
pas de solution.

Donc le seul cas potentiel c'est a=0, qui se voit à l'oeil nul sur la matrice

Au développement près...

[chan79]

hop,

une alternative par rapport à la méthode de Chan79. Décompo en carrés de GJ.
X=[x,y,z]
q(X)=X'AX=2 (axy+bxz+cyz)
q(X)=a(x+(y/a+bz/a))^2) - a(y/a+bz/a)^2 + cyz=a(x+(y/a+bz/a))^2) + R(y,z)
avec
R(y,z)=- a(y/a+bz/a)^2 + cyz=-y^2/a-b^2z^2/a+cyz
R(y,z)=-a(y+cz/2)^2 - ac^2z^2/4-b^2z^2/a
q(X)=a[x+(y/a+bz/a)]^2 + -a[y+cz/2]^2 - (ac^2/4+b^2/a)z^2
rang2 signifie un des carrés vaut 0.
Donc soit a = 0 soit ac^2/4+b^2/a=0
si a=0, vaut traiter à la main (division par zéro).
Sinon ac^2/4+b^2/a=0
a^2c^2/4+b^2=0
(ac/2)^2 = -b^2
pas de solution.

Donc le seul cas potentiel c'est a=0, qui se voit à l'oeil nul sur la matrice

Au développement près...

si a=1, b=1 et c=0 par exemple, le rang est 2

[barbu23]

Merci beaucoup à vous deux. :happy3:

On sait que deux matrices symétriques sont congruentes si elles ont le même rang.
J'ai deux matrices symétriques et : l'une est de rang et l'autre de rang , puis - je espérer trouver une matrice , même non inversible telle que ?

Merci d'avance. :happy3:

[fatal_error]

si a=1, b=1 et c=0 par exemple, le rang est 2

Au développement près...

ca n'a pas raté.

Je reprends :
q(X)=X'AX=2 (axy+bxz+cyz)
Je simplifie 2 c'est qu'un facteur.
On a déjà pour tout triplet (a,b,c) solution implique les permutations aussi.
Maintenant plusieurs cas : a=0, ou a=b=0 ou a=b=c=0, ou aucun vaut 0
aucun vaut 0, je pose x<-ax, y<-by, c<-cz
q(X)=xy+yz+zx=(x+y)(x+z)-x^2=[(2x+y+z)^2 - (y-z)^2]/4 - x^2
donc rg=3 donc pas good.

si a=0, on a q(X)=xz+yz=z(x+y)=[(z+x+y)^2 - (z-x-y)^2]/4, donc good
si a=0,b=0 on a q(X)=yz=[(y+z)^2-(y-z)^2]/4, donc good
si a=0,b=0,c=0 no good

Donc les solutions sont (0,a,P), a quelconque, et P strictement positif, à permutation pres!

[chan79]

ca n'a pas raté.



Donc les solutions sont (0,a,P), a quelconque, et P strictement positif, à permutation pres!

ta réponse est bizarre
on demande pour quelles valeurs de (a,b,c) le rang est 2

[fatal_error]

Z signifie est nul
Q signifie quelconque
N signifie nul
les valeurs possibles pour (a,b,c) pour lequel le rang de A est 2 sont :
ZQN
ZNQ
QNZ
QZN
NQZ
NZQ

[raph107]

Merci beaucoup à vous deux. :happy3:

On sait que deux matrices symétriques sont congruentes si elles ont le même rang.
J'ai deux matrices symétriques et : l'une est de rang et l'autre de rang , puis - je espérer trouver une matrice , même non inversible telle que ?

Merci d'avance. :happy3:

Je pense que c'est la meilleure voie. Puisque la matrice est symetrique, elle est diagonalisable dans R. Donc elle est équivalente à une matrice diagonale D dont la digonale est formée des valeurs propres. Pour que son rang soit de 2 il faut et il suffit que l'une des valeurs propres soit nulle et que les 2 autres soient non nulles.

Le polynome caractéristique est donné par .
L'équation P(x) = 0 admet une solution nulle et 2 autres non nulles ssi abc = 0 et a²+b²+c² non nul, ce qui revient à dire que un au moins des paramètres a, b ou c est nul et un au moins de ces paramètres est non nul.

Il ya une autre méthode qui n'utilise pas la diagonalisation et qui consiste à trouver pour quelles valeurs le noyau de la matrice est de dimension 1 ce qui revient à trouver les conditions pour que l'équation AX = 0 admette comme solution une droite.

[barbu23]

Je pense que c'est la meilleure voie. Puisque la matrice est symetrique, elle est diagonalisable dans R. Donc elle est équivalente à une matrice diagonale D dont la digonale est formée des valeurs propres. Pour que son rang soit de 2 il faut et il suffit que l'une des valeurs propres soit nulle et que les 2 autres soient non nulles.

Le polynome caractéristique est donné par .
L'équation P(x) = 0 admet une solution nulle et 2 autres non nulles ssi abc = 0 et a²+b²+c² non nul, ce qui revient à dire que un au moins des paramètres a, b ou c est nul et un au moins de ces paramètres est non nul.

Il ya une autre méthode qui n'utilise pas la diagonalisation et qui consiste à trouver pour quelles valeurs le noyau de la matrice est de dimension 1 ce qui revient à trouver les conditions pour que l'équation AX = 0 admette comme solution une droite.

J'ai trouvé un autre raisonnement :
Si est non inversible, alors , or , donc, n'existe pas.

[barbu23]

svp, est ce que deux matrices "non nécessairement symétriques" peuvent être congruentes ?
Merci d'avance.

[raph107]

J'ai trouvé un autre raisonnement :
Si est non inversible, alors , or , donc, n'existe pas.

Je ne vois de rapport avec l'exercice.
Puisque A est diagonalisable il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P tel que:
et on a bien rang(A) = rang(D)

Pour ta question dans le message précédent, à ma connaissance le terme congruence est réservé aux matrices symétriques. Pour les autres matrices non symétriques on utilise les terme semblables ou équivalentes(à confirmer).

[adrien69]

Salut,
Sinon un raisonnement avec les mineurs de la matrice marche aussi très bien, on voit directement la condition.

[barbu23]

Merci beaucoup pour vos réponses à vous deux.
@raph107 :
La définition de matrices congruentes ne concerne pas seulement les matrices symétriques. Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%28math%C3%A9matiques%29#Matrices_congruentes
Est ce que tu peux confirmer ça ?
Merci d'avance. :happy3: