Re dimension de Kn-1[X]

[Baby Dear]

Alors pourquoi la dimension de Kn-1[X] est n?

[Ledescat]

Bon je te le fais avec E=K2[X], ça se généralise.

Tu sais déjà que (1,X,X²) est génératrice de E.
Tu veux savoir si c'est une famille libre:

Si pour tout X, il existe (a,b,c) tq:

a*1+bX+cX²=0
Alors:
En évaluant en 0, tu as a=0
En dérivant, tu obtiens
b+2cX=0 (toujours pour tout X)
Et en révaluant en 0 tu obtiens b=0
En dérivant de nouveau, tu obtiens alors c=0
Donc (a,b,c)=(0,0,0)

Donc (1,X,X²) est libre, elle était génératrice.C'est une base, donc K2[X] est de dimension 3.

C'est le même raisonnement pour Kn-1[X] (dérivées successives)
Il y a évidemment d'autres manières de le montrer.


PS: il n'est pas superflux de dire "bonjour" et "merci"...

[BiZi]

Bon je te le fais avec E=K2[X], ça se généralise.

Tu sais déjà que (1,X,X²) est génératrice de E.
Tu veux savoir si c'est une famille libre:

Si pour tout X, il existe (a,b,c) tq:

a*1+bX+cX²=0
Alors:
En évaluant en 0, tu as a=0
En dérivant, tu obtiens
b+2cX=0 (toujours pour tout X)
Et en révaluant en 0 tu obtiens b=0
En dérivant de nouveau, tu obtiens alors c=0
Donc (a,b,c)=(0,0,0)

Donc (1,X,X²) est libre, elle était génératrice.C'est une base, donc K2[X] est de dimension 3.

C'est le même raisonnement pour Kn-1[X] (dérivées successives)
Il y a évidemment d'autres manières de le montrer.


PS: il n'est pas superflux de dire "bonjour" et "merci"...

Bonjour,

On peut dire plus simplement que le polynôme ayant une infinité de racines, il est forcément nul, donc a=b=c=0.

[Ledescat]

Bonjour.
Oui je n'avais pas pensé à celle-là. Disons que je voulais bien montrer a=0 puis b=0... mais ta méthode est vraiment mieux :we: .