Dimension de C sur R et de C sur C.

[sarah79]

bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose souci :
le corps des nombres complexes C est à la fois un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel, quel est sa dimension sur R, sur C.

le prof nous a dit que dim C (C)=1 et le nombre 1 est une base de C sur C.

et que dim R(C)=2 et base de C sur R =(1,i).

Quelqu'un peut-il m'expliquer tout cela? Je ne comprends pas, c'est assez abstrait pour moi.

Un complexe s'écrit sous la forme a+ib donc pourquoi dans un cas la dimension est 1 dans l'autre 2?

Merci d'avance.

[Mathusalem]

bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose souci :
le corps des nombres complexes C est à la fois un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel, quel est sa dimension sur R, sur C.

le prof nous a dit que dim C (C)=1 et le nombre 1 est une base de C sur C.

et que dim R(C)=2 et base de C sur R =(1,i).

Quelqu'un peut-il m'expliquer tout cela? Je ne comprends pas, c'est assez abstrait pour moi.

Un complexe s'écrit sous la forme a+ib donc pourquoi dans un cas la dimension est 1 dans l'autre 2?

Merci d'avance.

Les plus compétens complèteront, mais dis toi que pour générer un nombre complexe sur R, tu dois avoir la base ( 1, i), dont toutes les combinaisons linéaires possibles sur R t'engendrent C.

Alors que sur C, t'as seulement besoin d'un nombre complexe pour génerer un nombre complexe. T'as pas besoin de le construire.

Maintenant pour etre plus précis, il y a une question d'isomorphisme de R^2 à C. Encore une fois, ceux qui sont plus à même de compléter te répondront. Patience

[charif]

bs

je crois que tout sa joue dans la loi de composition externe:

la première est définie de RxC vers C et la 2eme de CxC vers C

alors les scalaires du C comme étant un R-ev ne peuvent être des imaginaire

pûrs alors dans le second on peut avoir comme scalaire le nombre i (par

exemple)

[Doraki]

(1) est une C-base de C car tout complexe z s'écrit de manière unique comme z = 1*z' avec z' complexe, à savoir en prenant z' = z.

(1,i) est une R-base de C car tout complexe z s'écrit de manière unique comme z = 1*a + i*b avec a et b réels, à savoir en prenant a = partie réelle de z et b = partie imaginaire de z.