Dimension

[nico2b]

Bonjour, j'ai une question qui concerne le début d'algèbre linéaire.

On a dans ,
F = { (x,0) : x } et G = {(3x,2x) : x }.

Il nous est demandé de rechercher la dimension de F + G et FG
On nous a dit que la dimensions vaut 2 mais je voudrais être sur d'avoir bien compris pourquoi.

dim FG vaut 0 car l'espace est réduit à l'élément nul
La dimensions de F = dim G = 1 car on a un seul vecteur dans chaque enesmeble pour un x fixé...

Donc dim (F+G) = 1 + 1 - 0 ce qui fait 2 c'est bien cela?

MErci d'avance

[fahr451]

bonjour
c'est correct même si ton explication "un seul vecteur à x fixé n'est pas très rigoureuse
dis simplement que F est l 'ensemble des vecteurs colinéaires à (1,0)
F est donc la droite engendrée par (1,0)

[nico2b]

Daccord merci

(1,0) est donc une base de F?
On peut donc aussi voir la dimension par rapport à la base?

PArce que une base de F est (1,0)
Une base de G est (3,2) donc une base de F + G est {(1,0) , (3,2)} ...

Dans ce cas là on verrais direct alors que la dim (F + G) vaut 2

[fahr451]

(1,0) est une base de F c'est ce qui prouve en effet que F est une droite

mais ((1,0) , (3,2) ) est A PRIORI seulement une famille génératrice de F+G
bien voir qu 'elle est libre pour conclure que c'est une base.

[nico2b]

Ah oui ok

Elle sera donc libre que si = 0 alors = 0 avec u1 = (1,0) et u2 = (3,2)

J'obitens alors le système suivant :



D'où x = 0. On a donc bien (0,0) l'unique solution du système.

Donc ((1,0) , (3,2)) est bien une base.

Je crois avoir compris
Merci beaucoup

[fahr451]

pour une famille de deux vecteurs la liberté se voit sans calcul "vecteurs non colinéaires"

[nico2b]

Il suffit de voir que (1,0) n'est pas combinaison linéaire de (3,2) et inversement c'est bien ça alors?

Vu comme ça c'est sur que c'est plus rapide
Merci pour ces "techniques"

[emdro]

On peut donc aussi voir la dimension par rapport à la base?

Bonjour,

La dimension, c'est le nombre d'éléments d'une base.

[nico2b]

Ok merci :happy2: