[MPSI] Dimension ...

[pouik]

Bonsoir,
J'arrive à résoudre les deux premières questions de cet exercice mais après je n'y arrive pas du tout ! Pourriez-vous m'aider. Merci d'avance.

Soit un -espace vectoriel non réduit de dimension finie. On suppose qu'il existe un endomorphisme de tel que , et on souhaite montrer que, forcément, la dimension de est paire.

1. Soit . Montrer que la famille est libre. Où l'hypothèse a t-elle servi ? = Question traitée.
2. On suppose dans cette question que . Soit . Montrer que la famille est libre. = Question traitée.
3. Montrer le résultat souhaité.

[fahr451]

bonsoir

si f(x) = a x

alors (a^2 +1 )x = 0 ce qui implique x = 0 car a^2 +1 = 0 dans R est impossible

[pouik]

Excusez moi mais pourriez vous etre un peu plus explicite : je ne comprends pas très en quoi cela montre que la dimension de E est paire.

Merci d'avance.

[fahr451]

ça répond à ta première question

où R sert il ?

[fahr451]

plusieurs façons de rédiger la réponse finale
une

par l absurde
on suppose dim E = 2p+1

alors
de proche en proche on construit

(x1,f(x1), x2,f(x2),...,xp f(xp) ) libre et comme le se v engendré par cette famille est de dim 2p il existe y qui n 'est pas ds ce sev

et alors (x1,....f(xp),y, f (y) ) est libre de cardinal 2p+2 absurde

[pouik]

okay merci,
mais en fait il y a juste la question 3. que je n'arrive pas à faire.

Des idées ?

[fahr451]

il y a une plus jolie preuve d 'ailleurs

on peut munir E d 'une structure de C ev en posant

ix = f(x) alors

E est forcément un C ev de dim finie n et alors E est un R ev de dim 2n

[pouik]

et que deduit-on de ceci :

et alors (x1,....f(xp),y, f (y) ) est libre de cardinal 2p+2 absurde

j'ai un peu de mal ... :hum: :hum:

[fahr451]

même preuve que la question 2 pourtant

[fahr451]

(x1,...,...f(xp),y) est libre par hypothèse

on suppose (x1,...,y,f(y)) liée alors on a forcément

f(y )= sigma ai xi + sigma bi f(xi) + c y


puis en prenant l 'image par f

- y = sigma ai f(xi) - sigma bi xi + cf(y)

et en remplaçant f(y) par la première relation et en utilisant que c^2 + 1 non nul

on trouve y cbl des xi et des f(xi) absurde

[pouik]

Mais ce que je ne comprends pas bien en fait, c'est comment de ca déduit-on que E est de dimension paire !?

[fahr451]

il a été supposé de dim IMPAIR 2p+1 et on vient de trouver une famille libre de cardinal 2p+2 > 2p+1 c 'est absurde

[pouik]

donc c'est pair si j'ai bien compris ?

[fahr451]

ah oui, un entier qui n est pas impair est nécessairement pair