Dimension im(f) et ker(f)

[novicemaths]

Bonjour

Pourriez-vous s'il vous plaît corriger cet exercice.

Soit l’application R-linéaire telle que :

f(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1), et f(0, 0, 1) = (1,−1).

1) Décrire la valeur de f(x, y, z), pour tout .

f(x, y, z) est un espace vectoriel de fonction.

2) Déterminer une famille génératrice de Im(f).

tel que (x,y)= f(x',y', z') =f( x(1,0,0) ' + y'(0,1,0) + z'(0;0;1) = x'(1,0) + y'(1,1) + z'(1,-1).

Donc {(1,0) , (1,1), (1,-1)} est une famille génératrice de Im(f).

Il en découle Vect{(1,0) , (1,1), (1,-1)} = Im(f)

3) En déduire la dimension de Im(f), puis celle de Ker(f).

On a donc

On a donc

La famille (1,1), (1,-1) étant libre, c’est une base de Im(f), donc dim(Im(f)) = 2.

Avec le théorème du rang, on a

A bientôt