Preuve de ker(XtX) = ker(X) [Résolu]

par **fioldodidi** » 19 Jan 2019, 18:00

Bonjour

,

J'ai trouver dans un livre que pour tout

mais je ne trouve pas la preuve. Pouvez vous m'aider ?

Merci !

par **infernaleur** » 19 Jan 2019, 18:14

Salut,
tu veux montrer que deux ensembles sont égaux, donc fait comme tu as l'habitude de faire, procède par double inclusion.

par **fioldodidi** » 19 Jan 2019, 18:32

Salut, justement je ne sais pas montrer ces inclusions ^^'.

Edit : ker(X) inclus dans ker(XtX) ça va mais l'autre je vois pas.

par **infernaleur** » 19 Jan 2019, 18:54

Oui c'est vrai que c'est plus compliqué que la première inclusion,

Soit

(M est donc une matrice p ligne et 1 colonne)
Donc

Donc

Donc on a

(*)
(on notera ici que XM est une matrice avec n ligne et 1 colonne)

Maintenant si on prend le produit scalaire usuel de

, définie par :

, ce qui donne la norme définie par

Bha en fait si on voit une matrice colonne avec n ligne comme un vecteur de

tu as donc pour une matrice colonne à n ligne

,

(truc super utile pour les exos)

Donc en revenant à (*) tu as

par **fioldodidi** » 19 Jan 2019, 18:58

Merci pour l'explication complète !