Dimension finie

par **kazeriahm** » 29 Juil 2006, 22:18

Bonjour

je passe en spé l'an prochain et j'ai une petite liste d'exos sur le programme de sup qui tombent aux oraux des concours

il y en a un qui me pose problème meme si l'énoncé ne paye pas de mine :

E est un ev de dim finie. Mq si F et G sont deux sev de E de meme dimension, il existe H sev de E tq {F et H soient supplémentaires, { G et H soient supplémentaires

Merci d'avance

par **El_Gato** » 29 Juil 2006, 23:15

Prendre une base de B1 de F. La compléter en une base (B1, B2) de E. Si H est le sev engendré par B2, il répond à la question.

par **kazeriahm** » 29 Juil 2006, 23:29

meuh pourquoi B2 n'appartiendrait-il pas à G ??

c'est bizzare c'est évident sur des exemples

par **Yipee** » 30 Juil 2006, 10:01

En effet la méthode proposée ne fonctionne pas. Il faut reprendre la demonstration de l'existence d'un supplementaire en construisant au fur et à mesure en prenant à chaque pas des vecteurs qui ne sont ni dans l'un, ni dans l'autre.

Il faut utiliser que, sur un corps infini, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels propres de E alors

par **kazeriahm** » 30 Juil 2006, 10:56

ouai ca semble pas mal, faudra que je retrouve cette démo dans le cours, je crois qu'elle utilise pas mal de lemme (qui sont eux meme des théorèmes en fait)...

moi j'étais parti sur F et G de dimension n-1 et ensuite une récurrence décroissante (le passage de k à k-1 est facile mais l'initialisation est plus embetante).

je vais regarder merci

par **Yipee** » 30 Juil 2006, 11:35

Non, c'est très simple. En admettant le fait que j'ai écrit : "sur un corps infini, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels propres alors

En effet, on note n la dimension de E et p celle de F et G. On a p<n, donc il existe

un vecteur qui n'est pas dans

. On pose alors

et

. Il est immédiat que

et

sont de dimension p+1. On peut recommencer...

Si on veut être rigoureux sur la redaction. On dit "demontrons que pour tout r compris entre 1 et n-p, il existe r vecteurs

tels que ...

par **kazeriahm** » 30 Juil 2006, 13:17

bah ok ton vecteur u1 n'appartient pas a F inter G mais il peut appartenir a F ou a G... auquel cas F1 ou G1 reste de dimension p.

Cependant je pense qu'on doit pouvoir justifier ce que tu dis, que parmis tous les vecteurs qui n'appartiennent pas F inter G, il en existe forcement qui n'appartiennent pas à F ou G...

Mais pour reprendre ton truc, si tu prends E de dimension 2n, F et G deux supplémentaires dans E de dimension n... F inter G est reduit au vecteur nul, et dans ce cas la il faut choisir plus precisment son vecteur u1.

Je suis désolé je fais que réfuter et je propose rien mais j'ai pas eu le temps de m'y mettre.

par **Yipee** » 30 Juil 2006, 14:12

Oups... Tu as bien raison. Il faut être critique. Dans tous mes messages au dessus, il faut mettre des

à la place des

. D'ailleurs, la proposition dont je parle à un sens et n'est vraie que dans ce cas.

par **kazeriahm** » 31 Juil 2006, 13:48

Alors ouai c'est vrai c'est très clair Yipee, d'ailleurs

Yipee a écrit:En admettant le fait que j'ai écrit : "sur un corps infini, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels propres alors

c'est un résultat classique (la réunion de deux ev n'est un ev que si F C G ou G C F, or les deux sont des ev strict...), et qui marche aussi pour une réunion infinie d'ev (j'ai eu ca en khole cette année :zen: ).

Merci beaucoup Yipee.

Mathématicien arabe, oui c'est ce sur quoi j'étais parti mais...

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