Polynome annulateur - dimension finie.

[Taupin sur Lyon]

Bonjour à toutes et tous,

Je me penchais sur un exercice, dont j'essayais de déterminer plusieurs solutions...


Soit E un ev de dimension finie.
Soit f un endomorphisme de E tel que : f²-5f+6id = 0.
On demande de montrer que Ker(f-2id) et Ker(f-3id) sont supplémentaires de E. Puis, si le résultat est encore vrai en dimension infinie.



1ère méthode : j'ai fait une analyse synthèse, ça marche correctement..., mais ça ne nécessite pas l'hypothèse de dimension finie ( ce qui répond à la deuxième partie de la question... )



2ème méthode : On remarque que comme tout commute, Ker(f-2id) est inclus dans Im(f-3id) et de même pour Ker(f-3id) et Im(f-2id) ( on a même des égalités )
Alors, puisque x = f(x) - 2x -(f(x)-3x), on a que : Ker(f-2id) + Ker(f-3id) = E
On peut conclure en regardant l'intersection des 2 espaces...



3ème méthode : On remarque que :
(f-2id)²=f²-4f+4id=f-2id
(3id-f)²=f²-6f+9id=3id-f
Donc ces applications étant linéaires, se sont des projecteurs. On a donc :
Ker(f-2id) et Im(f-2id) supplémentaires dans E ( de même pour f-3id ).
Puis on conclut avec la remarque de la méthode précédente.



Alors, tout d'abord, je précise que dans la seconde méthode, on peut utiliser un argument sur la dimension, au lieu de regarder si les sommes sont directes en calculant des intersections...


Aussi, je me demandais s'il n'y avait pas de méthode (encore ) plus simple, utilisant le fait que E soit de dimension finie ?

Enfin, dans la troisième méthode, j'aime bien l'astuce utilisée... Et je remarquais qu'on retrouvait souvent ce genre de chose quand on a un poly annulateur d'un endo. ( parfois il faut diviser par une constante... ). Alors je me demandais si c'était un fait général !


Merci !!!

[Finrod]

Je veux bien que soit en fait un projecteur. Car il est nul sur l'espace propre associé à 2 et vaut Id sur l'espace propre associé à 3.

Mais n'en est pas un . Il vaut -Id sur l'espace propre associé à 2. Donc à mon avis, il faut prenre 3id-f (renormaliser donc).

(Edit : tu as une erreur de calcul là : e résultat est = 3id-f)

Ici, il est possible de renormaliser facilement car il n'y a que deux valeurs propres.
S'il y en avait n il faudrait composer avec une fonction qui renormalise pour chaque espace propre.

Par ex, si les vp sont 1 et 7 f-Id = 6Id sur ker(f-7Id) donc a renormaliser par 6.

Mais les outiles qui permettent d'étudier les valeurs propres sont bien plus efficaces que cette méthode. D'autant plus que tu cherches à démontrer que les espaces propres sont en somme directe, donc tu ne peux pas le prendre comme hypothèse (je le cite juste pour l'intuition).

[Taupin sur Lyon]

En effet, je suis allé trop vite, c'était bien 3id-f...



[EDIT] je reformule... On pourra toujours se ramener à quelque-chose comme ça, même si notre polynome n'est pas à racines simples, par exemple ?

[Finrod]

Si le polynome minimal n'est pas à racine simple, la matrice n'est pas diagonalisable.

Donc ce sont les espaces caractéristiques qui sont en somme directe.

Par ex , si alors Ker((f-2id)^{2}) et Ker(f-3id) sont en somme directe.

Il me semble que dés qu'il y a plus de deux racines, se ramener à des projecteur complique la situation.

Et quand il y a des racine double, c'est impossible. La fonction restreinte à l'espace caractéristique est triangulaire non diagonalisable. Aucune chance d'en faire un projecteur.

Attend d'avoir le cours sur les valeurs propres. Ces questions là sont traités de manière exhaustives par des théorème généraux.

Pour survoler le sujet : http://fr.wikipedia.org/wiki/Réduction_d'endomorphisme