Différentiabilité au sens de Gateaux

[acoustica]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre la différence entre :

- La différentiabilité telle qu'on la connait, cad f d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un espace de Banach F, continue en a et telle qu'il existe une application linéaire L de E dans F telle que :
avec

- Et la différentiabilité au sens de Gateaux, qui concerne là aussi une fonction f d'un ouvert U d'un espace de Banach E dans un espace de Banach F, mais cette fois telle que le taux d'accroissement admet pour tout h une limite quand tend vers 0 et h-> continue.

Par exemple, on dit qu'cette fonction :



est différentiable au sens de Gateaux bien que non différentiable. Pas comprendre.
Cela signifie t-il que pour Gateaux, on trouvera toujours une limite, mais pas toujours la même ? Alors quel intérêt de définir une telle notion ?

:hein2: :crunch:

Help ? =)

[Luc]

Salut,
un lien (pas dans le cadre le plus général, mais bon):
http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./g/gateaux.html
La différentiabilité au sens de Gâteaux est une propriété plus faible que celle usuelle (dite de Fréchet). Toute fonction différentiable (ou Fréchet-différentiable) est Gâteaux-différentiable, et dans ce cas il y a égalité des différentielles. La réciproque est fausse (il y a une interversion de quantificateurs, un peu comme la différence entre la continuité et l'uniforme continuité). Dans la définition usuelle de différentiabilité, le terme correctif (d'ordre supérieur à un) ne dépend pas de la direction du vecteur. Pour la Gâteaux-différentiabilité, a priori si. En fait, dans un cadre général, dire que f est Gâteaux-différentiable en a c'est dire que f est dérivable suivant tout vecteur v en a. On a automatiquement l'homogénéité de la Gâteaux-différentielle, donc sa continuité. Il y a des définitions qui imposent en plus la linéarité (cf les posts suivants).
En le disant vite et pas très rigoureusement, la Gâteaux-différentiabilité c'est la convergence simple des taux d'accroissement tandis que la Fréchet-différentiabilité, c'est la convergence uniforme des taux d'accroissement.
Ce qui ne veut pas dire que les contre-exemples soient faciles à trouver. Mais la Gâteaux-différentielle de ton exemple se calcule.

Luc

[Nightmare]

Hello,

je n'ai pas beaucoup travaillé sur la différentiabilité au sens de Gateau, mais il me semble qu'un contre exemple simple est donné par l'application norme x->||x|| en 0.

Cette application est même un exemple qu'on peut être dérivable dans toutes les directions sans être différentiable.

:happy3:

[Skullkid]

Salut, un autre contre-exemple qui illustre bien la "faiblesse" de la Gâteaux-différentiabilité : f(x,y) = y^3/x si x non nul et f(0,y) = 0 n'est pas continue en (0,0) mais y est Gâteaux-différentiable.

[acoustica]

Salut,
un lien (pas dans le cadre le plus général, mais bon):
http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./g/gateaux.html
La différentiabilité au sens de Gâteaux est une propriété plus faible que celle usuelle (dite de Fréchet). Toute fonction différentiable (ou Fréchet-différentiable) est Gâteaux-différentiable, et dans ce cas il y a égalité des différentielles. La réciproque est fausse (il y a une interversion de quantificateurs, un peu comme la différence entre la continuité et l'uniforme continuité). Dans la définition usuelle de différentiabilité, le terme correctif (d'ordre supérieur à un) ne dépend pas de la direction du vecteur. Pour la Gâteaux-différentiabilité, a priori si. En fait, dans un cadre général, dire que f est Gâteaux-différentiable en a c'est dire que f est dérivable suivant tout vecteur v en a. Dans un cadre sympathique, on a aussi que la fonction est linéaire continue.
En le disant vite et pas très rigoureusement, la Gâteaux-différentiabilité c'est la convergence simple des taux d'accroissement tandis que la Fréchet-différentiabilité, c'est la convergence uniforme des taux d'accroissement.
Ce qui ne veut pas dire que les contre-exemples soient faciles à trouver. Mais la Gâteaux-différentielle de ton exemple se calcule.

Luc

Merci Luc pour ta réponse. Je comprends tes explications, et c'est plus ou moins ce que j'avais cru comprendre, mais cela ne me renseigne pas sur l'intérêt qu'il y a à définir cette notion.

[acoustica]

Hello,

je n'ai pas beaucoup travaillé sur la différentiabilité au sens de Gateau, mais il me semble qu'un contre exemple simple est donné par l'application norme x->||x|| en 0.

Cette application est même un exemple qu'on peut être dérivable dans toutes les directions sans être différentiable.

:happy3:

Oui, c'est un peu le même principe que l'exemple donné par mon bouquin, que j'ai mis en lien. C'est cette idée de différentiable dans toutes les directions mais pas toujours pareil ?

[acoustica]

Salut, un autre contre-exemple qui illustre bien la "faiblesse" de la Gâteaux-différentiabilité : f(x,y) = y^3/x si x non nul et f(0,y) = 0 n'est pas continue en (0,0) mais y est Gâteaux-différentiable.

Encore plus acrobatique ! La différentiabilité au sens de Gateaux n'a décidément de différentielle que le nom...

Mon intuition me dit qu'il en est de même pour , non ?

[Luc]

Hello,

je n'ai pas beaucoup travaillé sur la différentiabilité au sens de Gateau, mais il me semble qu'un contre exemple simple est donné par l'application norme x->||x|| en 0.

Cette application est même un exemple qu'on peut être dérivable dans toutes les directions sans être différentiable.

:happy3:

Effectivement l'application norme x->||x|| est différentiable en tout point sauf en l'origine. Mais j'ai un bug pour la Gateaux-différentiabilité. Si a est non nul, alors x->||x|| est différentiable en a, donc Gâteaux différentiable en a. En a=0, on a pour tout vecteur v, et t réel positif, . Donc x->||x|| est dérivable suivant tout vecteur. Mais pour la Gateaux-différentiabilité il faut la linéarité et la continuité, et v -> ||v|| est pas franchement linéaire.. De l'aide?

Luc

[acoustica]

Par exemple, sur ces trois fonctions, seules les deux premières sont différentiables au sens de Gateaux n'est-ce pas ?

[acoustica]

Effectivement l'application norme x->||x|| est différentiable en tout point sauf en l'origine. Mais j'ai un bug pour la Gateaux-différentiabilité. Si a est non nul, alors x->||x|| est différentiable en a, donc Gâteaux différentiable en a. En a=0, on a pour tout vecteur v, et t réel positif, . Donc x->||x|| est dérivable suivant tout vecteur. Mais pour la Gateaux-différentiabilité il faut la linéarité et la continuité, et v -> ||v|| est pas franchement linéaire.. De l'aide?

Luc

C'est quand même super bizarre : si on prend un v de norme très grande, on aura une gateau-différentielle très grande. Elle peut même être arbitrairement grande.

[Nightmare]

Edit suite à la réponse de Luc :

On est en conflit de définition, pour moi la Gateau-différentiabilité impose juste l'existence de la limite en 0+.

Après avoir cherché la définition sur le net, il semble qu'elle soit au bon vouloir de l'auteur.

:happy3:

[Luc]

C'est quand même super bizarre : si on prend un v de norme très grande, on aura une gateau-différentielle très grande. Elle peut même être arbitrairement grande.

Attention à ne pas confondre la différentielle (une application linéaire) avec un élément de son image...

[Luc]

Le taux d'accroissement suivant le vecteur v tend vers ||v||, ça suffit non?

Ça suffit à montrer la dérivabilité suivant tout vecteur. Mais apparemment dans les hypothèses de Gâteaux-différentiabilité il faut que v->||v|| soit linéaire continue, et ça c'est faux (si v est non nul, ||v+(-v)|| est différent de ||v||+||-v||). Mais cette histoire de linéaire continue c'est bizarre car ça n'apparait pas dans les définitions plus générales (cf wikipedia anglais)

Luc

[Luc]

Edit suite à la réponse de Luc :

On est en conflit de définition, pour moi la Gateau-différentiabilité impose juste l'existence de la limite en 0+.

Après avoir cherché la définition sur le net, il semble qu'elle soit au bon vouloir de l'auteur.

:happy3:

Le mystère est éclairci :id:

[Nightmare]

J'aime pas ces histoires de différentielles, mais je sens qu'on va en manger...

[Luc]

J'aime pas ces histoires de différentielles, mais je sens qu'on va en manger...

héhé... heureusement le Rouvière est notre ami :ptdr:
et en anglais j'ai trouvé ça http://www.math.ttu.edu/~klong/5311-spr09/diff.pdf

[acoustica]

Le mystère est éclairci :id:

J'ai la définition du de Boeck (qui a pris le relais des dunods pour la L3) qui rajoute bien l'hypothèse de continuité.

[Luc]

J'ai la définition du de Boeck (qui a pris le relais des dunods pour la L3) qui rajoute bien l'hypothèse de continuité.

c'est plutôt la linéarité qui est rajoutée (la continuité est automatique car la gâteaux différentielle est 1-homogène).
Edit : Ce que j'ai dit est faux, la 1-homogénéité n'implique pas la continuité, même en dimension finie (sauf en dimension 1)!
Contre-exemple :
si , sinon.
Alors f est 1-homogène, mais n'est pas continue en (0,0) car et ne tend pas vers 0 quand . En fait la 1-homogénéité dit que la valeur de la fonction en un point détermine ses valeurs sur toute la demi-droite ouverte issue de l'origine et contenant ce point. Mais il n'y a aucune corrélation entre deux demi-droites distinctes, donc on peut les faire bouger à des vitesses différentes.

[Deliantha]

Le mystère est éclairci :id:

La définition d'une gateaux-différientiabilité loin d'être au bon vouloir de l'auteur s'avère plutôt intangible :


Soient et deux espaces vectoriels normés et une fonction. On dit que est ''Gâteaux différentiable" en si
# la dérivée directionnelle existe quel que soit ,
# l'application est linéaire continue.
On dit que est "continûment Gâteaux différentiable" en si est Gâteaux différentiable dans un voisinage de et est continue en ; on a noté l'ensemble des opérateurs linéaires continus de dans , muni de sa norme canonique (Cf. la bibliographie sous Wiki).

Un exemple de calcul différentiel en exercice 2 de TD suit accompagné aussi d'un corrigé de l'exercice 2.

[Nightmare]

Cf la page [url="http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%A2teaux_derivative"]wiki[/url]

Je cite :

However, this function need not be additive, so that the Gâteaux differential may fail to be linear, unlike the Fréchet derivative. Even if linear, it may fail to depend continuously on if X and Y are infinite dimensional.

Je réitère donc : C'est au bon vouloir de l'auteur.