Gâteaux vs. frêchet

[nemesis]

bonsoir,
est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre la differentielle au sens de Fréchet, cad au sens habituel de la différentielle, et celui au sens de Gateaux.
si vous avez un exemple où elles ne sont pas égales, j'aimerai bien le connaitre
merci d'avance

[barbu23]

Salut :
Regarde ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./g/gateaux.html
Cordialement !

[nemesis]

merci bien

[mathelot]

est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre la differentielle au sens de Fréchet, cad au sens habituel de la différentielle, et celui au sens de Gateaux.

Le souçi vient du fait que les coordonnées , en un point, de l'application
différentielle, , sont les nombres dérivés selon les axes de coordonnées , donc, selon quelques directions privilégiées et que ça ne reflète pas toujours ce qui se passe globalement dans un voisinage du point.


mais, sauf erreur, il me semble que cette condition nécessaire
être Gateaux-différentiable dans toutes les directions
ne suffit pas:
f peut être différentiable selon toutes directions
sans être différentiable.


exemple:



on passe en polaire:


f est différentiable dans toutes les directions.
selon l'axe et
les nombres dérivés sont nuls.

Si f est différentiable, ces nombres dérivés sont les coordonnées de l'application linéaire df(0,0) dans la base (dx,dy) du dual.

Celle ci , df(0,0) est nécessairement nulle.
Mézalor, f n'est pas différentiable en (0,0) car elle n'est pas un petit de ||(x,y)||

bon, il faudrait améliorer l'exemple en rendant f continue, car içi f n'est même pas continue.