Différentiabilité au sens de Gateaux

[acoustica]

Merci à vous pour vos réponses. Nightmare me persuade toutefois qu'il ne s'agit pas d'une notion fondamentale^^. J'y reviendrai plus tard je pense, pour l'instant j'ai encore du mal à en cerner la portée et l'enjeu et ça a besoin de mûrir un peu.

[Anonyme]

petite question d'amateur :
=> à quoi sert une dérivée de Gateaux en pratique ? quand as t on besoin de l'utiliser plutôt que la dérivée classique ?

[Luc]

petite question d'amateur :
=> à quoi sert une dérivée de Gateaux en pratique ? quand as t on besoin de l'utiliser plutôt que la dérivée classique ?

Bonne question. Je dirais pas à grand chose étant donnée que l'existence de Gâteaux-dérivée n'assure pas la continuité par exemple, contrairement à l'existence de Fréchet-dérivée.

[Anonyme]

mdr, j'espere qu'il y a quand meme quelques applications ? :lol3:

[Arkhnor]

L'avantage de la notion de dérivée de Gateaux, c'est qu'elle reste valable lorsqu'on passe à des evt plus généraux, comme les Fréchet, où on a plus la norme.

Après, dans le contexte des espaces de Banach, je crois qu'il y a des applications en optimisation, mais je ne sais pas de quelle nature elles sont ...

[Nightmare]

Sur bibmaths, il est écrit :

Cette notion de différentiabilité a été introduite par Gateaux en 1913 afin d'établir une théorie de l'intégration en dimension infinie.

A quelle théorie est-il fait référence?

:happy3:

[Luc]

A quelle théorie est-il fait référence?

:happy3:

On verra quand on fera l'intégration... J'ai encore jamais construit Lebesgue rigoureusement ^^.

[Deliantha]

Après, dans le contexte des espaces de Banach, je crois qu'il y a des applications en optimisation, mais je ne sais pas de quelle nature elles sont ...

A priori les différentielles caractérisent un minorant global par l’approximation linéaire locale (voir là).

[Arkhnor]

Ce qui serait intéressant, c'est d'avoir un exemple concret de fonctionnelle qui soit Gâteaux-différentiable, mais pas Fréchet-différentiable.

De plus, pour la condition nécessaire (et non caractérisation) pour un minimum, même pas besoin de supposer la Gâteaux-différentiabilité, seule l'existence des dérivées directionnelles suffit. (pas besoin d'exiger linéarité ou continuité de la différentielle)

Pour l'origine historique de la notion, aucune idée de ce que peut être cette intégration en dimension infinie. J'ai jeté un coup d'oeil à quelques articles de Gâteaux, c'est difficile de voir où exactement il introduit une telle notion, et ce qu'il en fait par la suite. (visiblement, ça semblait surtout l'intéresser pour l'étude des fonctions holomorphes)

Il y a un article qui parle "d'intégration dans le domaine fonctionnel"; mais je n'ai pas eu le courage de le parcourir.

[Luc]

Salut Arkhnor,

Ce qui serait intéressant, c'est d'avoir un exemple concret de fonctionnelle qui soit Gâteaux-différentiable, mais pas Fréchet-différentiable.

On en a donné dans les posts précédents. La Gâteaux-différentiabilité en un point n'assure même pas la continuité (donc pas la Fréchet-différentiabilité). En restant en dimension finie.

De plus, pour la condition nécessaire (et non caractérisation) pour un minimum, même pas besoin de supposer la Gâteaux-différentiabilité, seule l'existence des dérivées directionnelles suffit. (pas besoin d'exiger linéarité ou continuité de la différentielle)

Ok. En fait la Gâteaux-différentiabilité a plusieurs définitions selon les auteurs, mais la définition la plus générale est effectivement l'existence de dérivées directionnelles, sans linéarité ni continuité. On a tout de même automatiquement une propriété plus faible par passage à la limite, la 1-homogénéité.

Pour l'origine historique de la notion, aucune idée de ce que peut être cette intégration en dimension infinie. J'ai jeté un coup d'oeil à quelques articles de Gâteaux, c'est difficile de voir où exactement il introduit une telle notion, et ce qu'il en fait par la suite. (visiblement, ça semblait surtout l'intéresser pour l'étude des fonctions holomorphes)

Il y a un article qui parle "d'intégration dans le domaine fonctionnel"; mais je n'ai pas eu le courage de le parcourir.

Je connais très peu la théorie des fonctions holomorphes, mais il me semble aussi que c'est une bonne piste.

[Arkhnor]

On en a donné dans les posts précédents. La Gâteaux-différentiabilité en un point n'assure même pas la continuité (donc pas la Fréchet-différentiabilité). En restant en dimension finie.

C'était en réponse au message de Deliantha, qui fait allusion aux applications en optimisation. Je cherche un exemple concret de fonctionnelle utilisée en optimisation qui soit G-différentiable, mais pas F-différentiable. (ce qui justifierai l'intérêt de la G-diff vis-à-vis de la F-diff).
Je ne crois pas avoir vu de tels exemples dans le slide mis en lien; mais il en existe très probablement.

Je connais très peu la théorie des fonctions holomorphes, mais il me semble aussi que c'est une bonne piste.

En fait, il est bien connu qu'une fonction qui est "Gateaux-holomorphe" sur un ouvert d'un espace de Banach est automatique analytique. Je ne sais pas si c'est ce genre de résultat que démontrait Gâteaux dans ses articles.