Différentiabilité - continuité

[Ncdk]

Bonjour,

Je voulais avoir quelques renseignements sur comment on peut prouver ces choses :

1) Si f est pas continue, alors elle n'est pas différentiable.
2) Si f est différentiable en , alors f admet des dérivées partielles en

Merci d'avance

[BiancoAngelo]

Bonjour,

Je voulais avoir quelques renseignements sur comment on peut prouver ces choses :

1) Si f est pas continue, alors elle n'est pas différentiable.
2) Si f est différentiable en , alors f admet des dérivées partielles en

Merci d'avance

Pour la 1), il suffit de prendre le cas d'une fonction à une variable réelle.
Si f n'est pas continue en a, alors le taux d'accroissement ne peut pas s'écrire...
Le fameux ne s'écrit pas sans f(a) justement...

Sinon, pour une fonction quelconque, rappelle toi des définitions de la différentielle, dedans il y a f(a)... donc bon, si ce n'est pas continue...


Pour la 2), je pense que c'est la définition, si les dérivées partielles existent en un point, alors c'est que c'est différentiable et inversement (vu que c'est une définition).

[Ben314]

Pour la 2), je pense que (*) c'est la définition, si les dérivées partielles existent en un point, alors c'est que c'est différentiable et inversement (vu que c'est une définition).

...Raté.. : ce n'est pas la définition et... ce n'est pas équivalent non plus : une fonction peut parfaitement admettre des dérivées partielles en un point alors qu'elle n'est pas différentiable en ce point.

@Ncdk : tu as vu la définition générale d'application différentiable ?
C'est a dire le fait que f est différentiable en Xo ssi il existe L linéaire continue telle que ?

[Ncdk]

Bonsoir,

Oui j'ai vu, je connais bien maintenant cette définition, mais j'avais une idée, ce L c'est la différentielle au point donc si elle existe bien sur, et cette différentielle c'est pas "l'ensemble" des dérivées partielles en ce même point ?

[BiancoAngelo]

@Ben : Merci. En gros, si les dérivées partielles existent mais que c'est pas différentiable, c'est du à la non-linéarité de l'application "L" qu'on aurait cherché à exhiber?

[Ben314]

C'est bien l'application linéaire (continue) L qui, lorsqu'elle existe (et on montre que dans ce cas elle est unique) qui est la différentielle de f en Xo (ne pas oublier le "en Xo")
Dans ce cas, et, par exemple en dimension 2, on a :


Mais, évidement, pour obtenir ce résultat (a connaitre absolument), il faut il faut commencer par montrer que, si f est différentiable en Xo, cela implique que les dérivées partielles existent en Xo (la continuité en Xo est évidente : dans la définition théorique du post. précédent, tu fait tendre H cers 0 et ça te donne le résultat)

Pour ce faire, tu applique la définition théorique au vecteur H=t.e_i où (e1,e2,...en) est la base canonique de R^n.
Puis tu fait tendre t vers 0 et tu retombe sur la définition de la dérivée partielle de f en Xo selon la i-ième variable et ça te dit même que

[BiancoAngelo]

C'est bien l'application linéaire (continue) L qui, lorsqu'elle existe (et on montre que dans ce cas elle est unique) qui est la différentielle de f en Xo (ne pas oublier le "en Xo")
Dans ce cas, et, par exemple en dimension 2, on a :


Mais, évidement, pour obtenir ce résultat (a connaitre absolument), il faut il faut commencer par montrer que, si f est différentiable en Xo, cela implique que les dérivées partielles existent en Xo (la continuité en Xo est évidente : dans la définition théorique du post. précédent, tu fait tendre H cers 0 et ça te donne le résultat)

Pour ce faire, tu applique la définition théorique au vecteur H=t.e_i où (e1,e2,...en) est la base canonique de R^n.
Puis tu fait tendre t vers 0 et tu retombe sur la définition de la dérivée partielle de f en Xo selon la i-ième variable et ça te dit même que

D'accord, ça je commence à assimiler, on en avait parlé il y a quelques temps.
Je m'interroge simplement pour savoir dans quel cas on a les dérivées partielles mais que ce n'est pas différentiable ?

[Ben314]

C'est des exo. "classique".
Par exemple, on prend pour tout .
1) Montre que f admet une limite lorsque (x,y)->(0,0) : on peut donc la prolonger par continuité en (0,0).
2) Montre que la fonction prolongée admet des dérivées partielle en (0,0).
3) Montre que la fonction prolongée n'est pas différentiable en (0,0).

[BiancoAngelo]

C'est des exo. "classique".
Par exemple, on prend pour tout .
1) Montre que f admet une limite lorsque (x,y)->(0,0) : on peut donc la prolonger par continuité en (0,0).
2) Montre que la fonction prolongée admet des dérivées partielle en (0,0).
3) Montre que la fonction prolongée n'est pas différentiable en (0,0).

D'accord, je regarde ça, merci.
A l'époque, quand j'étais en Licence 3, je n'avais pas du tout assisté à ce cours sur la différentiabilité, et je ne l'ai donc jamais vraiment fait...

[BiancoAngelo]

C'est des exo. "classique".
Par exemple, on prend pour tout .
1) Montre que f admet une limite lorsque (x,y)->(0,0) : on peut donc la prolonger par continuité en (0,0).
2) Montre que la fonction prolongée admet des dérivées partielle en (0,0).
3) Montre que la fonction prolongée n'est pas différentiable en (0,0).

Pour la 1), si je passe en coordonnées polaires et , ça me donne que qui tend vers 0 quand r tend vers 0.

On peut donc prolonger par continuité et poser

Et je fais le reste demain :zen: , merci encore.

[BiancoAngelo]

Est-ce que pour la dérivée partielle je dois faire la limite de ?

Si oui,je trouve 0 pour la dérivée partielle en x et 0 pour la dérivée partielle en y.

Par contre, en faisant rien que en passant en coordonnées polaires, je trouve : qui n'a pas de limite.

Donc la fonction n'est pas différentiable.

Est-ce que c'est bien ça que je devais voir ?

[Ben314]

Concernant les dérivées partielle, c'est bien comme ça qu'il faut les calculer et elles sont effectivement (et assez trivialement) toutes les deux nulles.
Ensuite, si tu calcule (par exemple) df/dx en (x,y) autre que (0,0) et que tu constate que df/dx(x,y) ne tend pas vers df/dx(0,0), ça montre que la fonction df/dx n'est pas continue en (0,0), donc, concernant la différentiabilité, ça montre que, si f est différentiable en 0, alors la différentielle n'est pas continue en 0. Mais ça ne prouve pas qu'ell n'est pas différentiable en 0.
Pour montrer qu'ell est non différentiable en 0, il faut revenir à la définition :
Elle est différentiable en (0,0) ssi f(0+h,0+k)=f(0,0)+L(h,k)+o(h,k) où L est linéaire.
Le calcul des dérivées partielles correspond aux cas particuliers (h,k)=(t,0) (pour d/dx) et (h,k)=(0,t) (pour d/dy) et ces deux calculs là te disent que, si L existe, alors L(1,0)=0 et L(0,1)=0 donc qu'en fait L est nulle partout.
Pour tomber sur un truc contradictoire, il faut prendre d'autres couple (h,k) que (0,t) et (t,0).
Sauf erreur, ici, en prenant (h,k)=(t,t) on tombe sur L(1,1)=1/2 qui est contradictoire avec L(1,0)=L(0,1)=0.

[Ncdk]

J'ai pu comprendre un peu tout, j'ai posé aussi quelques questions à mon prof chargé de TD, et j'ai une question que j'ai pas pu lui poser car j'ai tout simplement oublié, c'est :

Quand on calcule une dérivée partielle, prenons un cas ou on a une fonction f(x,y) et 0 si x,y différent de 0, comment on montre que les dérivées partielles existent en x,y différent de 0 ?

Sur ma copie, à chaque fois que je calculé une dérivée partielle j'avais le droit à un "Pourquoi elles existent, qu'est-ce qui te permet de dire qu'elles existent ?" et bien la je vois pas pourquoi :doh:

[Ben314]

Les dérivées partielles, c'est jamais que des dérivées "normales" (on "bloque" toutes les variables sauf une pour n'avoir plus qu'une fonction d'une seule variable).
Donc, comme pour toutes les fonctions d'une seule variable, on invoque en général que la fonction en question est dérivable sur ??? car "composée de fonctions dérivables" : la somme, le produit, le quotient (avec dénominateur non nul évidement) et la composée de deux fonctions dérivable est dérivable.
Le seul "piège" est de ne pas écrire ça à tort et a travers en ayant rien regardé de la fonction. Dans les fonctions "de base", les deux qui posent problème sont la racine carré et la valeur absolue (toute deux définies en 0 mais non dérivable en 0).

[Ncdk]

Les dérivées partielles, c'est jamais que des dérivées "normales" (on "bloque" toutes les variables sauf une pour n'avoir plus qu'une fonction d'une seule variable).
Donc, comme pour toutes les fonctions d'une seule variable, on invoque en général que la fonction en question est dérivable sur ??? car "composée de fonctions dérivables" : la somme, le produit, le quotient (avec dénominateur non nul évidement) et la composée de deux fonctions dérivable est dérivable.
Le seul "piège" est de ne pas écrire ça à tort et a travers en ayant rien regardé de la fonction. Dans les fonctions "de base", les deux qui posent problème sont la racine carré et la valeur absolue (toute deux définies en 0 mais non dérivable en 0).

D'accord merci, c'est vrai que ce détail je l'oublie, ça peut agacer le correcteur, pensant qu'on applique juste une méthode sans savoir d'où ça vient

[BiancoAngelo]

D'accord.
Merci !
Et tu as un exemple de differentiable en un point et de differentielle non continue en ce point ? Ça m'intrigue.
J'ai l'impression que ce nest pas possible.

[Ben314]

Oui, j'ai un exemple (et ça va pas trop me fouler...)
f(x,y)=x²sin(1/x) pour x non nul et f(0,y)=0.
La fonction ne dépend pas de y et, en x elle est dérivable partout, y compris en x=0 mais la dérivée n'est pas continue.

Evidement, on peut faire semblant de "camoufler" le fait qu'il n'y a qu'une variable, mais je ne vois pas de raison de se gêner, vu que le "contre exemple" existe déjà pour les fonction de R->R (dérivable mais de dérivée non continue)

[BiancoAngelo]

Oui, j'ai un exemple (et ça va pas trop me fouler...)
f(x,y)=x²sin(1/x) pour x non nul et f(0,y)=0.
La fonction ne dépend pas de y et, en x elle est dérivable partout, y compris en x=0 mais la dérivée n'est pas continue.

Evidement, on peut faire semblant de "camoufler" le fait qu'il n'y a qu'une variable, mais je ne vois pas de raison de se gêner, vu que le "contre exemple" existe déjà pour les fonction de R->R (dérivable mais de dérivée non continue)

D'accord, mais quand on dit ça de R sur R, on dit dérivable à gauche et/ou à droite, non ?

[Ben314]

On peut effectivement parler de dérivées "à droite" et "a gauche" sur R (et ces notions deviennent plus ou moins celle de Gâteau-différientiabilité en dimension supérieure), mais... ça n'a rien avoir avec lez questions posées jusqu'ici, ni avec le contre-exemple çi dessus où la fonction f, est tout ce qu'il y a de plus "complètement dérivable" sur R (le problème ne se situe absolument pas sur des notions de limite a droite ou a gauche)

[BiancoAngelo]

Donc ici, pour cette fonction dont on parlait déjà la fois dernière, pour la dérivée en 0, je fais la limite du taux d'accroissement en 0, et on trouve 0, donc dérivable en 0.

Mais par contre, comme la dérivée f'(x) fait apparaître du cos(1/x), alors elle n'a pas de limite en 0, qui fait donc qu'elle n'est pas continue...