Diagonalisibilité d'un endomorphisme

[jeje56]

E est un R-espace vectoriel de dimension finie.
On note f un endomorphisme de E tel que (f-2Id)o(f-3Id)=0.
f est-il un endomorphisme diagonalisable?

Après simplification je trouve : f²-5f+6=0
X²-5X+6=(X-2)(X-3) est donc un polynôme annulateur de f
Là je me pose la question de savoir si c'est le polynôme minimal... :
X-2=0 ssi f=2Id=Id ce que j'exclus par intuition puisque je vois que (X-2)(X-3) est scindé et n'a que des racines simples et donc qu'il doit surement s'agir du polynôme minimal... Maris pourquoi exclure f=Id? Où peut-être est-ce un cas particulier?...
Merci d'avance

[serge75]

tu t'égares...
P est un polynôme scindé à racines simples qui annule f... donc f est diagonalisable.
Est-il minimal est une autre question.

S'il ne l'es pas, alors le polynôme minimal est soit (X-2) (et donc f=2Id), soit (X-3) (et donc f=3Id).
En réponse :
1- si f=2Id ou f=3Id ce n'est pas le polynôme minimal.
2 - Sinon c'en est un.

[jeje56]

C'est exactement ce que j'ai voulu dire...
Mais justement ma question est : comment savoir si f = Id?... Pourquoi l'exclure ou ne pas l'exclure?

[yos]

Bonjour.
Id ne vérifie pas (f-2Id)o(f-3Id)=0.

[serge75]

Tu n'as pas les moyens de le savoir faute d'autres hypothèses, c'est pourquoi ma réponse est en plusieurs cas. En quoi cela est-il choquant ?
Par contre si tu as des hyp en plus, il se peut alors que l'une d'entre elle permette d'exclure f=2Id ou f=3Id.

[serge75]

additif : par contre, comme yos te le dit, f=Id est effectivement irréaliste.

[jeje56]

Non pas d'autres hypothèses, je suis d'accord avec toi ;-) Merci!