Déterminant (MPSI)

[Anonyme]

Bonjourje bute sur l'exercice suivant même si celui ci me semble très
classique votre aide me serait très utile

soit f un endomorphisme de Mn(K)

tel que f(M)=transposée(M)

calculer Det(f)

Merci d'avance pour vos indications

[Anonyme]

Bonsoir,

Il existe une base assez standard de Mn(K) : celle des
E_ij, la matrice qui n'a que des 0 sauf en (i,j) ou il y a un 1.

Je propose de calculer le determinant de f dans cette base.

f(E_ij)=E_ji donc f agit sur cette base par permutation.

En travaillant un peu on en deduit que det f= +-1

D'ailleurs fof=Id donc ....

Mais dans la premiere approche, on peut compter le nombre
de permutations de lignes qui ramene a l'identite et donne
donc le signe correct !

En dimension n=1, det f = 1
En dimension n=2, E11->E11
E12->E21
E21->E12
E22->E22
et permuter les lignes E21 et E12 semble suffisant.

A vue de nez, le soir :-)
Bon courage !
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Gauss wrote:
> Bonjourje bute sur l'exercice suivant même si celui ci me semble très
> classique votre aide me serait très utile
>
> soit f un endomorphisme de Mn(K)
>
> tel que f(M)=transposée(M)
>
> calculer Det(f)
>
> Merci d'avance pour vos indications

Allons-y pour la matrice !

Une base classique de ton espace est celle des matrices n x n
élémentaires e(i,j) (un seul 1, en position (i, j), des zéros ailleurs).

Si on arrange cette base de la manière suivante : d'abord les
e(i,i), puis les autres regroupées par paires (e(i,j) et e(j,i)), on
obtient pour ton endo une jolie matrice n^2 x n^2, diagonale par blocs.

Les blocs sont gentils : I_n pour commencer, puis n(n-1)/2 blocs [0
1//1 0]. Le déterminant est alors simple à calculer.

[Anonyme]

Gauss a écrit :
> Bonjourje bute sur l'exercice suivant même si celui ci me semble très
> classique votre aide me serait très utile
>
> soit f un endomorphisme de Mn(K)
>
> tel que f(M)=transposée(M)
>
> calculer Det(f)
>
> Merci d'avance pour vos indications

Bonsoir
tu peux essayer d'écrire f dans une base ou elle est diagonale par
blocs. (essaye avec des petites valeurs de n pour commencer)

[Anonyme]

Nougy a écrit :

>
> Bonsoir
> tu peux essayer d'écrire f dans une base ou elle est diagonale par
> blocs. (essaye avec des petites valeurs de n pour commencer)

C'est pas la première fois que j'arrive après tout le monde

[Anonyme]

> Nougy a écrit :
>[color=green]
>>
>> Bonsoir
>> tu peux essayer d'écrire f dans une base ou elle est diagonale par blocs.
>> (essaye avec des petites valeurs de n pour commencer)
>
> C'est pas la première fois que j'arrive après tout le monde [/color]

merci à tous pour vos indications j'ai enfin aboutit.

[Anonyme]

>Bonjourje bute sur l'exercice suivant même si celui ci me semble très
>classique votre aide me serait très utile
>
>soit f un endomorphisme de Mn(K)
>
>tel que f(M)=transposée(M)
>
>calculer Det(f)
>
une autre façon : j'exploite le fait que fof=id
donc f est une symétrie donc diagonalisable
ce qu'on vérifie ici facilement

f(M)=M eqv M symétrique 1 est valeur propre ; l'espace propre est de
dim n+n(n-1)/2
f(M)=-M eqv M antisymétrique -1 est valeur propre ; dim de l'espace
propre n(n-1)/2
comme la somme des 2 dim est n^2 , f est bien diagonalisable
et dans une base de vecteurs propres
sur la diagonale on a que des 1 et que des -1 : n(n-1)/2 fois
donc le det est (-1)^(n(n-1)/2)
>
>