Dérivées (partielle, directionelle,...)

[Isendar]

Bonjour à tous,

alors voila, j'ai quelques question à poser principalement en ce qui concerne les dérivée partielle:

* En ce qui concerne la dérivée directionnelle , est ce qu'on peut la considérer comme une dérivée partielle (étant donné que l'on dérive uniquement dans un sens)?

*Ceci n'a pas de rapport direct avec les dérivée , mais j'ai un peu de mal à comprendre ce qu'est qu'une "application polynomiale" car j'ai comme définition:

"nous appelons une fonction [a,b]-> polynomiale s'il existe une partition a=a0R², (x,y)--> x*y/(x²+y²) si (x,y)different de(0,0)
0 si (x,y) = (0,0)

E (<--correspond à un "xi")(0,0). Alors les dérivée particulière partielle mais f n'est pas dérivable en (0,0) parce que (pour x different de 0) et que f n'est pas continue en (0,0). f n'est pas dérivable le long de la direction (1,1)
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Il s'avère que je n'arrive pas a comprendre comment arrive a-t-on à deduire que f n'est pas dérivable en (0,0) et le long de la direction (1,1)

Voila je pense que c'est tout pour le moment, j'espère avoir été relativement clair dans mes questions et pouvoir mieux comprendre cette matière grâce à vous.

Merci d'avance pour les réponses.

[Maxmau]

Bj

On parle de dérivée partielle suivant une direction mais le terme « dérivée partielle » est plutôt réservé aux dérivées directionnelles suivant les vecteurs de base

Pour moi une application polynomiale est une application de la forme
X ---;) P(x) où P est un polynôme
Maintenant ton histoire de partition fait penser à une fonction polynomiale par morceaux

A ta question :
*Si toutes les dérivées partielles d'une application existent en un point alpha peut-on directement déduire que l'application est dérivable en ce point alpha ?
La réponse est non
F(x,y) = x²y/(x^4 + y²) et F(0,0)
F possède des dérivées partielles en (0,0) suivant tout vecteur
Pourtant F n’est pas continue en (0,0) et n’est donc pas différentiable (dérivable) en (0,0)

Ton exemple
f(x,y) = xy/(x²+y²) f(0,0)=0
f’x(0,0) =f’y(0,0)=0
(f(t,t) – f(0,0))/t = 1/2t n’admet pas de limite finie lorsque t tend vers zéro
Donc f n’est pas dérivable en (0,0) suivant le vecteur (1,1)
Conc : f n’est donc pas différentiable (dérivable) en (0,0) car sinon elle admettrait des dérivées partielles dans toutes les directions

[mathelot]

* En ce qui concerne la dérivée directionnelle , est ce qu'on peut la considérer comme une dérivée partielle (étant donné que l'on dérive uniquement dans un sens)?

C'est la dérivée au sens de Gateaux, mathématicien français prometteur,
fauché à 25 ans, en 14-18.

[Isendar]

Ton exemple
f(x,y) = xy/(x²+y²) f(0,0)=0
f’x(0,0) =f’y(0,0)=0
(f(t,t) – f(0,0))/t = 1/2t n’admet pas de limite finie lorsque t tend vers zéro
Donc f n’est pas dérivable en (0,0) suivant le vecteur (1,1)

la formule (f(t,t) – f(0,0))/t = 1/2t d'ou vient elle ? je pense avoir compris que puisque il n'y a pas de limite finie lorsque t tends vers zero, f n'est pas dérivable en (0,0) mais pourquoi suivant la direction (1,1) ?

Conc : f n’est donc pas différentiable (dérivable) en (0,0) car sinon elle admettrait des dérivées partielles dans toutes les directions

Mais il me semblait que meme si elle admettait des derivées partielle dans tout les sens , ca ne suffisait pas pour dire que f est dérivable non ?

[Maxmau]

Bj
Ta question :
la formule (f(t,t) – f(0,0))/t = 1/2t d'ou vient elle ? je pense avoir compris que puisque il n'y a pas de limite finie lorsque t tends vers zero, f n'est pas dérivable en (0,0) mais pourquoi suivant la direction (1,1) ?

réponse : la dérivée de f au point (a,b) dans la direction du vecteur (h,k) est la limite du rapport (f(a+th,b+tk) – f(a,b))/t lorsque t tend vers zéro. Ici (a,b)=(0,0) et (h,k)=(1,1). Ce rapport n’a pas de limite donc f n’est pas dérivable en (0,0) dans la direction (1,1). Donc f n’est pas dérivable (différentiable) « tout court » en (a,b) car si f était dérivable (différentiable) en (0,0) elle admettrait des dérivées directionnelles dans tous les sens (voir question suivante)

Ta question
Mais il me semblait que meme si elle admettait des derivées partielle dans tout les sens , ca ne suffisait pas pour dire que f est dérivable non ?

Réponse : C’est bien ce que j’ai dit et je t'ai donné un contre-exemple.
( f dérivable (différentiable) en (a,b) ) entraine ( f admet des dérivées partielles dans toutes les directions) – La réciproque est fausse (voir contre-exemple)

[Isendar]

Je te remercie Maxmau, je comprend mieux maintenant.