Savoir si une fonction admet une dérivée partielle

[trablazar]

NON : Il ne suffit évidement pas qu'une fonction existe pour qu'elle soit continue. Tu as montré UNIQUEMENT que df/dx(0,0) et df/dy(0,0) existaient (et étaient nulles).
Pour la continuité de chacune de ces deux fonctions (df/dx et df/dy), ben il faut revenir à la définition de la continuité d'une fonction de 2 variables (et/ou passer en coordonnées polaires locales pour simplifier les calculs).

Aprés, il y a un "gros" théorème (i.e. pas super façile à démontrer) qui te "vend" que, si les dérivéesd partielles sont continues au voisinage d'un point, alors la fonction est différentiable en ce point (mais la réciproque est fausse)
Donc tu as intérêt à répondre aux questions 3) avant les 2).

Un autre théorème (assez évident lui) dit que, si f est différentiable en un point alors elle admet des dérivées partielles en ce point. Donc les seuls cas où la réponse à la question 2) n'est pas évidente sont ceux où il existe des dérivées partielles, mais qu'elles ne sont pas continues au voisinage du point. Dans se cas, il faut (évidement) revenir à la définition de "différentiable".

Donc la en faisant la limite j'ai montré que f1 admettait des dérivées partielles, ce qui me permet maintenant de travailler sur leur continuité ?
Pour ce qui est de démontrer la continuité, la ca va se réduire en un unique cas étant donné la symétrie de la fonction mais si c'etait une fonction avec df/dx différent de df/dy, dois-je montrer la continuité de chacune des deux dérivées partielles en (0;0) pour prouver la différentiabilité en (0;0) ? Et cela serait-il suffisant pour la prouver ?


Edit: Mais par les limites j'ai montré que df/dx=0 quelque soit (x0+h), du coup cela signifie que df/dx(x0;0)=0 pour tout x0, donc que la fonction est nulle et donc continue non ?

[Ben314]

Comme tu en as des tonnes à faire, je t'en fait un : le 4) (mais forcément il n'y aura pas tout les cas de figure dedans...)

pour et

1) Continuité :

qui est indépendant de et qui tend vers 0 lorsque tend vers 0.
Donc la fonction est continue en (0,0)

1') Existence de dérivées partielles : (pourquoi 1') ?)
donc existe et vaut .
donc existe et vaut .

3a) Continuité de la dérivée partielle :
Evidement, pour voir si elle est continue (ou pas) en (0,0), ben faut la calculer aileurs qu'en (0,0) (pour voir si la limite est la bonne).
Pour , on fait le calcul "bètement" en utilisant en utilisant la formule :

On peut maintenant regarder si est ou pas continue en (0,0) :

Or cette quantité ne tend pas vers 0 lorsque tend vers 0 indépendement de , en effet, pour , elle vaut qui ne tend pas vers 0 lorsque tend vers 0.
Donc n'est pas continue en (0,0)

3b) Continuité de la dérivée partielle :
Pour ,

Qui ne tend pas vers 0 lorsque tend vers 0 indépendement de (prendre )
Donc n'est pas continue en (0,0)

2) Différentiabilité de f en (0,0) :
Vu que les dérivées partielles en (0,0) existent mais qu'elles ne sont pas continues, on ne sait pour le moment pas si f est différentiable en 0.
Je pense que la définition que tu as de la différentiabilité doit (plus ou moins...) dire que :
f est différentiable en (x,y) ssi tend vers 0 lorsque (h,k) tend vers 0,0).
Ici,
donc il faut regarder si tend vers 0 lorsque (h,k) tend vers (0,0) :

Qui ne tend pas vers 0 lorsque tend vers 0 indépendement de (prendre )
Donc n'est pas différentiable (0,0)

Remarque : Pour montrer qu'une fonction g ne tend pas vers 0 lorsque (h,k) tend vers (0,0), il suffit de trouver un cas particulier de fonctions t->h(t) et t->k(t) qui tendent vers 0 lorsque t tend vers 0 et telles que g(h(t),k(t)) ne tend pas vers 0 lorsque t tend vers 0.
Par exemple pour la fonction , le fait que pour suffit à montrer que g(h,k) ne tend pas vers 0 lorsque (h,k) tend vers (0,0).

[Ben314]

...dois-je montrer la continuité de chacune des deux dérivées partielles en (0;0) pour prouver la différentiabilité en (0;0) ? Et cela serait-il suffisant pour la prouver ?

Il faut effectivement étudier la continuité des deux dérivées partielles (lorsqu'elle sont différentes).
Si elles sont continue, c'est suffisant pour en déduire que est différentiable (mais pas nécessaire).
La "règle", c'est :
les dérivées partielles sont continues différentiable les dérivées partielles existent
Mais les réciproques sont toute les deux fausses (les contres exemple pour la réciproque de l'implication de gauche sont un peu plus rare que ceux pour celle de droite)

Edit: Mais par les limites j'ai montré que df/dx=0 quelque soit (x0+h), du coup cela signifie que df/dx(x0;0)=0 pour tout x0, donc que la fonction est nulle et donc continue non ?

NON : là où tu te gourre, c'est que ce que tu as montré, c'est que f(x,0)=0 pour tout x ce qui implique évidement que (c'est la dérivée en 0 de la fonction nulle...).
MAIS, pour voir si est (ou pas) continue en (0,0), il faut regarder les pour tout les (x,y) proches de (0,0) et pas seulement pour ceux de la forme (x,0).
A ne pas confondre avec le calcul de qui, lui, peut se faire en cconnaissant uniquement les f(x,0) pour x proche de 0.

[trablazar]

Wow merci beaucoup tout s'est éclairci ! Je sais pas comment te remercier pour toute cette aide !
Milles merci !

Du coup pour f1 j'ai trouvé non continue en 0 pour et pour car indépendant de r et dépendant de

Donc je n'en déduis rien pour la différentiabilité en 0 MAIS je cherche si tend vers 0 quand (h;k) tend vers 0

Donc j'ai, pour (x;y)=(0;0) (d'ailleurs ai-je le droit d'écrire ca ?),
Donc j'ai

Donc je cherche si tend vers 0 quand (h;k) tend vers (0;0):

Or, puisque sin(x) compris entre -1 et 1, alors ca tend vers 0 quand (h;k) tend vers (0;0) donc f1 différentiable en (0;0) ?

NON : là où tu te gourre, c'est que ce que tu as montré, c'est que f(x,0)=0 pour tout x ce qui implique évidement que (c'est la dérivée en 0 de la fonction nulle...).
MAIS, pour voir si est (ou pas) continue en (0,0), il faut regarder les pour tout les (x,y) proches de (0,0) et pas seulement pour ceux de la forme (x,0).
A ne pas confondre avec le calcul de qui, lui, peut se faire en cconnaissant uniquement les f(x,0) pour x proche de 0.

Oui en effet, j'avais encore une fois perdu de vue que c'etait une fonction à deux variables donc qui ne se résumait pas à une courbe !

[Ben314]

C'est O.K. pour la différentiabilité.
Par contre, j'ai pas vérifié pour la continuité des dérivées partielles...

Aprés, effectivement, les fonction de deux variables, ça correspond pas à des courbes du plan, mais plutôt à des surfaces de l'espace de dimension 3 trés précisément la surface d'équation z=f(x,y) : tu peut voir x,y comme des coordonnées "à plat" et f(x,y) comme l'altitude au point (x,y).
Avec cette vision, pour "voir" les dérivées partielles, il suffit de se dire qu'une telle surface, si tu en fait une "tranche" en coupant suivant un plan horizontal parrallèle à l'axe des x (ou des y), ben sur le plan en question, ça te fait une bête courbe dont on peut calculer la dérivée.
Aprés, une fois que tu as les deux dérivées partielles (donc les pentes des deux courbes qu'on obtient en coupant parallèle à l'axe des x ou à l'axe des y), ça doit te donner le plan tangent à la surface en ce point là (de la même façon que la dérivée d'une courbe du plan donne la tangente).
Et effectivement, l'équation d'un plan de R^3 (non horizontal), c'est de la forme z=ax+by+c et, pour avoir l'équation du plan tangent à une surface en un point (xo,yo,zo) (avec zo=f(xo,yo)) il faut prendre pour a et b les dérivées partielles de f en (xo,yo).
Le problème, c'est qu'en faisant juste deux "coupes" (parallèles à l'axe des x et à l'axe des y), on est pas sûr d'avoir complètement fait "le tour du problème" et il est possible que en coupant avec d'autre plans (ou des trucs plus compliqués que des plans) on obtienne une courbe toute bizare qui n'a pas de tangente à l'endroit où on étudie la surface.
Ca explique pourquoi l'existence des dérivée partielle n'assure pas que la fonction soit différentiable (différentiable = existence d'un "beau" plan tangent à la surface...)

[trablazar]

C'est O.K. pour la différentiabilité.
Par contre, j'ai pas vérifié pour la continuité des dérivées partielles...

Aprés, effectivement, les fonction de deux variables, ça correspond pas à des courbes du plan, mais plutôt à des surfaces de l'espace de dimension 3 trés précisément la surface d'équation z=f(x,y) : tu peut voir x,y comme des coordonnées "à plat" et f(x,y) comme l'altitude au point (x,y).
Avec cette vision, pour "voir" les dérivées partielles, il suffit de se dire qu'une telle surface, si tu en fait une "tranche" en coupant suivant un plan horizontal parrallèle à l'axe des x (ou des y), ben sur le plan en question, ça te fait une bête courbe dont on peut calculer la dérivée.
Aprés, une fois que tu as les deux dérivées partielles (donc les pentes des deux courbes qu'on obtient en coupant parallèle à l'axe des x ou à l'axe des y), ça doit te donner le plan tangent à la surface en ce point là (de la même façon que la dérivée d'une courbe du plan donne la tangente).
Et effectivement, l'équation d'un plan de R^3 (non horizontal), c'est de la forme z=ax+by+c et, pour avoir l'équation du plan tangent à une surface en un point (xo,yo,zo) (avec zo=f(xo,yo)) il faut prendre pour a et b les dérivées partielles de f en (xo,yo).
Le problème, c'est qu'en faisant juste deux "coupes" (parallèles à l'axe des x et à l'axe des y), on est pas sûr d'avoir complètement fait "le tour du problème" et il est possible que en coupant avec d'autre plans (ou des trucs plus compliqués que des plans) on obtienne une courbe toute bizare qui n'a pas de tangente à l'endroit où on étudie la surface.
Ca explique pourquoi l'existence des dérivée partielle n'assure pas que la fonction soit différentiable (différentiable = existence d'un "beau" plan tangent à la surface...)

Ok ok je tiens sincèrement à te remercier pour le temps que tu m'as accordé, tes réponses sont superbement claires et bien rédigées et tu ne t'es pas découragé une seule fois devant mon incompréhension la plus totale ^^ Je te souhaite une bonne soirée et te remercie encore 1000 fois pour toute le temps que tu m'as consacré :we:

[Milye3099]

Merci Ben314. L'âne supérieur a toujours raison. Bref l'informatique n'est pas mon truc apparemment.

[Ben314]

Tu clique sur le lien :
http://www.maths-forum.com/forum-lycee.php
Presque tout en haut et à gauche, tu as un rectangle bleu avec "Nouvelle discution" (écrit en blanc) : tu clique dessus.
Et tu n'oublie pas de mettre un sujet (pertinent) à ta nouvelle discution, sinon "ça veut pas"...

[trablazar]

Bonjour !

Voila j'ai essayé de faire f7, si quelqu'un a le temps de me dire si je me suis trompé quelque part, je lui en serait reconnaissant !


pour et

Donc je commence par la question 1:
1) La fonction est-elle continue en (0;0) ?

Je cherche donc à faire tendre y vers 0 et je vérifie tous les "chemins" possibles avec Donc indépendant de r et dépendant de donc non continue en (0;0)

1') La fonction admet-elle des dérivées partielles en (0;0) ?

Pour :

Donc existe et vaut 0

Par symétrie, on obtient le même résultat pour

Je passe directement à la 3) comme conseillé:

3) La fonction admet-elle des dérivées partielles continues en (0;0) ?

Je calcule

avec la formule

Je peux donc étudier la continuité de en (0;0):


Donc ne tend pas vers 0 quand r tend vers 0 donc non continue en (0;0)

Par symétrie encore, j'obtiens pour


et j'observe la même chose que pour , c'est à dire la non continuité en (0;0)

Je passe maintenant à la question 2:
2) La fonction est-elle différentiable en (0;0) ?

Puisque les dérivées partielles sont non continues en (0;0), je ne peux pas en déduire que la fonction est différentiable en (0;0)

Je passe donc par la formule

Dans mon cas, ça donne :



Et à partir de là je bloque :soupir2: Du coup je suis allé chercher un peu sur internet et j'ai trouvé que, puisque alors f non continue en (0;0) donc non différentiable au point (0;0)... Est-ce suffisant pour dire que f n'est pas différentiable ?
Comment trouver le "" ?

[Ben314]

Oui, ça marche.
Pour la dernière question (où tu est allé regarder sur internet), si tu fait le truc classique de prendre h=r.cos(theta) et k=r.sin(theta), c'est clair que ça déconne complet vu que tu as un truc dépendant de theta (pas forcément nul) divisé par r donc ça tend pas du tout vers 0 lorsque r->0.

Sinon, il y a une bonne parti du travail qu sert à rien du fait que, exactement comme dans R où tu as l'inplicationn "concon" dérivable => continue, ben en dimension supérieurs tu as différentiable => continue qui est toujours aussi "concon" à démontrer : ça vient du fait que, dans la définition de diffférentiabilité, il faut que 1/racine(h²+k²)*(gros truc) tende vers 0 et que ça implique que "gros truc" tend vers 0 et donc que f(x+h,y+k) tende vers f(x,y).

Donc vu qu'au 1) tu as trouvé "non continue", ça prouve que c'est pas différentiable et donc que les dérivées partielles ne sont pas continues (par contre, elle peuvent exister quand même et c'est effectivement le cas ici).

P.S. Ce que je raconte, c'est exactement la question que tu te pose à la fin...

[trablazar]

Oui, ça marche.
Pour la dernière question (où tu est allé regarder sur internet), si tu fait le truc classique de prendre h=r.cos(theta) et k=r.sin(theta), c'est clair que ça déconne complet vu que tu as un truc dépendant de theta (pas forcément nul) divisé par r donc ça tend pas du tout vers 0 lorsque r->0.

Sinon, il y a une bonne parti du travail qu sert à rien du fait que, exactement comme dans R où tu as l'inplicationn "concon" dérivable => continue, ben en dimension supérieurs tu as différentiable => continue.
Donc vu qu'au 1) tu as trouvé "non continue", ça prouve que c'est pas différentiable et donc que les dérivées partielles ne sont pas continues (par contre, elle peuvent exister quand même et c'est le cas ici).

Ok du coup dès que ça déconne j'oublie le et et je cherche un "chemin" qui me dit clairement que c'est non continue ou je m'arrête et dis que puisque la fonction est non continue elle est non différentiable ?

Enfaîte je comprends pas les profs nous conseillent de passer par un "chemin" pour prouver la non continuité (par exemple avec y=x dans le cas que j'ai trouvé sur internet) mais ca apporte quoi de plus qu'un et "mal foutu" ? Après tout les deux indiquent que la fonction n'est pas continue, rien de plus, non ?

[Ben314]

Enfaîte je comprends pas les profs nous conseillent de passer par un "chemin" pour prouver la non continuité (par exemple avec y=x dans le cas que j'ai trouvé sur internet) mais ca apporte quoi de plus qu'un et "mal foutu" ? Après tout les deux indiquent que la fonction n'est pas continue, rien de plus, non ?

Une fois qu'on a trouvé le "chemin qui déconne" (quand c'est non continu), c'est pas mal plus rapide à rédiger.
En plus ça permet peut-être de mieux "visualiser" ce que signifie la continuité : quelque soit le trajet que j'emploie pour me raprocher du point, ça donne toujours la même chose.
Aprés, dans la liste d'exo qu'on t'a donné, il y a tout le temps du x^2+y^2 au dénominateurs et là, ça incite vachement à ne pas se faire chier et à prendre x=r.cos(theta) et y=r.sin(theta) dans tout les exos.
Dans d'autre cas, ça risque de conduire à des calculs pas mal chiant (il faut étudier une fonction pour savoir, lorsque theta varie, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le truc)

[trablazar]

Une fois qu'on a trouvé le "chemin qui déconne" (quand c'est non continu), c'est pas mal plus rapide à rédiger.
En plus ça permet peut-être de mieux "visualiser" ce que signifie la continuité : quelque soit le trajet que j'emploie pour me raprocher du point, ça donne toujours la même chose.
Aprés, dans la liste d'exo qu'on t'a donné, il y a tout le temps du x^2+y^2 au dénominateurs et là, ça incite vachement à ne pas se faire chier et à prendre x=r.cos(theta) et y=r.sin(theta) dans tout les exos.
Dans d'autre cas, ça risque de conduire à des calculs pas mal chiant (il faut étudier une fonction pour savoir, lorsque theta varie, quelle est la plus grande valeur que peut prendre le truc)

Ok pas de problème !

[trablazar]

Désolé de t'embêter encore mais j'ai une question à propos des différentielles:

On l'a pas encore abordé en cours mais j'ai un exo assez simple (je suppose) la dessus (je dois calculer les différentielles de différentes fonctions.

Voici la première:

Tout ce que je sais c'est que la différentielle est une application telle que:


Du coup j'ai fait les dérivées partielles:


et


Donc j'ai

Est-ce que je dois faire quelque chose de plus ou c'est terminé ?