je bloque sur un calcul de dérivée partielle...
On définit H :
et f une fonction de
Je cherche à calculer les dérivées partielles de foH et j'y arrive pas.
J'ai fait
Mais je doute fortement de ce calcul...
Merci
Dérivée partielle
16 messages
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Dérivée partielle
par flo22 » 10 Aoû 2009, 12:51
Bonjour,
je bloque sur un calcul de dérivée partielle...
On définit H :
 \rightarrow \begin{pmatrix}<br />\cosh (u)\cos (v) \\ \sinh (u) sin(v) \end{pmatrix})
et f une fonction de
dans 
Je cherche à calculer les dérivées partielles de foH et j'y arrive pas.
J'ai fait \cos (v) \\ \cosh (u) \sin (v) \end{pmatrix} \frac{\partial f(H)}{\partial u})
Mais je doute fortement de ce calcul...
Merci
je bloque sur un calcul de dérivée partielle...
On définit H :
et f une fonction de
Je cherche à calculer les dérivées partielles de foH et j'y arrive pas.
J'ai fait
Mais je doute fortement de ce calcul...
Merci
par Zavonen » 10 Aoû 2009, 13:24
Je verrais plutôt ta dérivée partielle comme un produit matriciel mais dans l'autre sens.
H considérée comme fonction de la seule variable u (v étant fixé) est une fonction de R dans R^2, sa dérivée s'assimile donc à une application linéaire de R dans R^2 c'est à dire à un vecteur colonne.
Or si tu appliques le théorème de dérivation des fonctions composées (qui dit en gros que les différentielles se composent comme les applications), c'est bien une composition en sens inverse que tu obtiendras. ta dérivée partielle apparaitra comme composée d'un vecteur ligne par un vecteur colonne qui te donnera un coefficient unique.
H considérée comme fonction de la seule variable u (v étant fixé) est une fonction de R dans R^2, sa dérivée s'assimile donc à une application linéaire de R dans R^2 c'est à dire à un vecteur colonne.
Or si tu appliques le théorème de dérivation des fonctions composées (qui dit en gros que les différentielles se composent comme les applications), c'est bien une composition en sens inverse que tu obtiendras. ta dérivée partielle apparaitra comme composée d'un vecteur ligne par un vecteur colonne qui te donnera un coefficient unique.
par flo22 » 10 Aoû 2009, 13:29
euh je comprends pas trop ta dernière phrase. D'où viendrait le vecteur ligne ?
par Zavonen » 10 Aoû 2009, 16:29
Pour être plus correct il faudrait dire 'matrice ligne' et 'matrice colonne', les vecteurs s'identifiant aux 'matrices colonnes'.
En fait la différentielle d'une application de R^n dans R^m, apparait comme une application linéaire de R^n dans R^m, donc une matrice à m lignes et n colonnes. Les coefficients sont les dérivées partielles, ainsi si f=(f1,f2, ..., fm) où chaque fi est une fonction de (x1,..,xn).
Le coefficient d'indice i,j de la matrice de la différentielle de f est la dérivée partielle de la fonction fi par rapport à la variable xj.
Quand tu appliques cela avec n=1 tu trouves des matrices colonnes, quand tu appliques avec m=1 tu trouves des matrices lignes.
La règle de dérivation des fonctions composées n'est rien d'autre que la règle de multiplication des matrices.
En fait la différentielle d'une application de R^n dans R^m, apparait comme une application linéaire de R^n dans R^m, donc une matrice à m lignes et n colonnes. Les coefficients sont les dérivées partielles, ainsi si f=(f1,f2, ..., fm) où chaque fi est une fonction de (x1,..,xn).
Le coefficient d'indice i,j de la matrice de la différentielle de f est la dérivée partielle de la fonction fi par rapport à la variable xj.
Quand tu appliques cela avec n=1 tu trouves des matrices colonnes, quand tu appliques avec m=1 tu trouves des matrices lignes.
La règle de dérivation des fonctions composées n'est rien d'autre que la règle de multiplication des matrices.
par flo22 » 16 Aoû 2009, 18:41
Finalement j'ai repris mes calculs, il y a une erreur quelque part mais je ne trouve pas où...
) + \sin v ( \sinh u \frac{\partial f}{\partial y} + \cosh u ( \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y})))
) + \sinh u (- \sin v \frac{\partial f}{\partial y} + \cos v ( \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y})))
Et je dois calculer le laplacien qui est donc :
)
Seulement voilà mon laplacien devrait être de la forme
avec A dépendant de u et v, puisque la question est de démontrer que 
est nul ssi 
est nul
Et je dois calculer le laplacien qui est donc :
Seulement voilà mon laplacien devrait être de la forme
par mathelot » 17 Aoû 2009, 17:51
pfff.............
F(u,v)=f(chu cosv,shu sinv)
<br />+sinv \left( shu \frac{\partial f}{\partial y} + chu \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} shu cosv + chu \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} chu sin v \right))
 + \frac{\partial f}{\partial y} chu cosv)
 + (-sinv) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (-chu sinv) + (-sinv \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} shu cosv \right)<br />+shu \left( (-sinv) \frac{\partial f}{\partial y} + cosv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (-chu sinv) + cosv \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} shu cos v \right))
les dérivées croisées (sous les hypothèses du lemme de Schwartz:classe C2)
se simplifient:
 \Delta f = \frac{ch(2u)-cos(2v)}{2} \Delta f = \frac{cos(2iu)-cos(2v)}{2} \Delta f)
F(u,v)=f(chu cosv,shu sinv)
les dérivées croisées (sous les hypothèses du lemme de Schwartz:classe C2)
se simplifient:
par flo22 » 17 Aoû 2009, 17:59
Merci beaucoup, je vois mon erreur... merci du temps que t'y as passé, vraiment sympa !
par flo22 » 17 Aoû 2009, 18:16
Je fais mon erreur en calculant 
En fait j'ai jamais calculé de dérivées parteilles secondes, d'où viennent les termes
de ?
En fait j'ai jamais calculé de dérivées parteilles secondes, d'où viennent les termes
par mathelot » 17 Aoû 2009, 20:03
re,
soit \rightarrow f(chu cos v, shu sin v))
le principe général de la différentiation est le suivant:
les différences infinitésimales entre les images sont fonctions linéaires
des accroissements des variables
cette propriété, géométriquement, se traduit par le fait que les surfaces régulières ressemblent localement à des espaces affines
(exemple: la Terre est plate)
içi dans l'exemple, supposons que les deux variables ne soient pas composites:
soit \rightarrow f(x, y))
on écrit un accroissement infinitésimal entre images
-f(x_0,y_0)=ah + bk + o(||(h,k)||))
les coefficents a et b sont à la fois les dérivées partielles de f
et les coefficients de l'application linéaire df dans la base duale,
ie, exprimée linéairement,dualement, avec les accroissements h et k
des deux variables.
maintenant c'est un peu plus compliqué:
la variable x est le produit de deux images chu cosv
le produit est une application bilinéaire.
l'accroissement h de la variable x s'exprime
en fonction des accroissements de u et v:
 + chu (-sinv dv))
 du - (chu sinv) dv)
au niveau 1 pour 1 (one-to-one), ce sont les nombres dérivés qui servent de facteurs multiplicatifs.
voiçi quelques explications pourquoi on peut composer les applications différentielles.
maintenant, au niveau des dérivées secondes, la théorie ("calcul différentiel" , Cartan chez Hermann) dit qu'elles sont les coordonnées de la différentielle de "l'application différentielle", paramétrée par la variable de départ
soit))
Cette nouvelle différentielle s'identifie à une application bilinéaire
et non pas à une application linéaire, car il y a deux variables:
la variable x sous-jacente et la variable)
sur laquelle opère df(x)
soit
le principe général de la différentiation est le suivant:
les différences infinitésimales entre les images sont fonctions linéaires
des accroissements des variables
cette propriété, géométriquement, se traduit par le fait que les surfaces régulières ressemblent localement à des espaces affines
(exemple: la Terre est plate)
içi dans l'exemple, supposons que les deux variables ne soient pas composites:
soit
on écrit un accroissement infinitésimal entre images
les coefficents a et b sont à la fois les dérivées partielles de f
et les coefficients de l'application linéaire df dans la base duale,
ie, exprimée linéairement,dualement, avec les accroissements h et k
des deux variables.
maintenant c'est un peu plus compliqué:
la variable x est le produit de deux images chu cosv
le produit est une application bilinéaire.
l'accroissement h de la variable x s'exprime
en fonction des accroissements de u et v:
au niveau 1 pour 1 (one-to-one), ce sont les nombres dérivés qui servent de facteurs multiplicatifs.
voiçi quelques explications pourquoi on peut composer les applications différentielles.
maintenant, au niveau des dérivées secondes, la théorie ("calcul différentiel" , Cartan chez Hermann) dit qu'elles sont les coordonnées de la différentielle de "l'application différentielle", paramétrée par la variable de départ
soit
Cette nouvelle différentielle s'identifie à une application bilinéaire
et non pas à une application linéaire, car il y a deux variables:
la variable x sous-jacente et la variable
sur laquelle opère df(x)
par flo22 » 17 Aoû 2009, 20:30
J'ai un peu de mal à comprendre tout mais en tout cas merci !
Tu pense qu'en spé on verra tout ça ? Parce que je trouve qu'en sup on le développe pas trop...
Donc finalement, quand tu calcules
on met cos v en facteur puisqu'il est constant, on applique la formule de la dérivée d'un produit de fonction à 
puis pour avoir 
on a la dérivée partielle selon x qui donne 
et selon y 
et les termes sh u cos v et sin v ch u sont en fait 
et 
?
Tu pense qu'en spé on verra tout ça ? Parce que je trouve qu'en sup on le développe pas trop...
Donc finalement, quand tu calcules
par mathelot » 17 Aoû 2009, 20:37
flo22 a écrit:et les termes sh u cos v et sin v ch u sont en fait
vi,
les dérivées secondes sont les dérivées partielles des dérivées 1ères.
et on applique les formules de dérivées des fonctions composées.
je peux t'envoyer plusieurs pdf. file-moi ton email par MP.
par mathelot » 17 Aoû 2009, 20:57
re,
j'espère que tu as remarqué que
ch(2u)=cos(2iu) (formule d'Euler) :doh:
j'espère que tu as remarqué que
ch(2u)=cos(2iu) (formule d'Euler) :doh:
par flo22 » 17 Aoû 2009, 21:00
Euh non mais pour cet exo ça m'a pas l'air vraiment utile si ?
Et puis on définit un cosinus complexe ? J'avais jamais vu ça ^^
Et puis on définit un cosinus complexe ? J'avais jamais vu ça ^^
par mathelot » 17 Aoû 2009, 21:04
flo22 a écrit:Euh non mais pour cet exo ça m'a pas l'air vraiment utile si ?
Et puis on définit un cosinus complexe ? J'avais jamais vu ça ^^
par flo22 » 17 Aoû 2009, 21:06
Oui oui bien-sûr j'avais bien vu d'où ça venait (c'eût été assez horrible pour un maths sup de pas le voir) mais je voulais dire qu'avant que tu me donnes l'égalité je ne l'avais pas remarquée. Et puis j'avais jamais vu un cosinus défini sur C
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